軌道角運動量

軌道角運動量（きどうかくうんどうりょう、orbital angular momentum）とは位置座標とその共役運動量の外積として表される角運動量のことである。たとえば原子において、原子核を回る軌道上の電子の全角運動量 $\mathbf{J}$ のうちスピン角運動量 $\mathbf{S}$ を除く部分は軌道角運動量 $\mathbf{L}$ である。

概要 [編集]

たとえば（原子核＝中心力場の周りを回る電子の）古典的な角運動量は

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

で表される。 $\mathbf{r}$ は電子の位置ベクトル、 $\mathbf{p}$ は運動量、 $\times$ は外積である。量子力学での運動量演算子

$\mathbf{p} = -i \hbar \nabla$

を $\mathbf{L}$ の定義に代入すると、デカルト座標系での軌道角運動量演算子はそれぞれ

$L_x = -i \hbar \left(y {\partial \over {\partial z}} - z {\partial \over {\partial y}} \right)$

$L_y = -i \hbar \left(z {\partial \over {\partial x}} - x {\partial \over {\partial z}} \right)$

$L_z = -i \hbar \left(x {\partial \over {\partial y}} - y {\partial \over {\partial x}} \right)$

となる。これらの交換関係は

$\left[ L_y , L_z \right] = L_y L_z - L_z L_y = i \hbar L_x$

$\left[ L_z , L_x \right] = L_z L_x - L_x L_z = i \hbar L_y$

$\left[ L_x , L_y \right] = L_x L_y - L_y L_x = i \hbar L_z$

である。これらの関係はまとめて

$\left[ L_i , L_j \right] = i \hbar \sum_{j,k} \epsilon_{ijk} L_k$

と書ける。 $\, \epsilon_{ijk}$ はレビチビタの記号である。

極座標系での単位ベクトルを用いて

$\mathbf{L} = \mathbf{e}_r L_r + \mathbf{e}_\theta L_\theta +\mathbf{e}_\phi L_\phi$

と書くと

$L_r = 0 \,$

$L_\theta = i \hbar \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi}$

$L_\phi = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \theta}$

となる。

固有関数 [編集]

$\mathbf{L}^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$

とすると、この演算子は

$\left[ \mathbf{L}^2, L_x \right] = \left[ \mathbf{L}^2, L_y \right] = \left[ \mathbf{L}^2, L_z \right] = 0$

を満たす。この関係は、 $\, L_x, L_y, L_z$ のうちの任意の一つと $\mathbf{L}^2$ の同時固有関数が存在することを意味する。該当する固有関数には球面調和関数がある。 $\mathbf{L}^2$ と $\, L_z$ の同時固有関数である球面調和関数に演算子 $\mathbf{L}^2$ と $\, L_z$ を作用させると（以下、極座標表示で考える）

$\mathbf{L}^2 Y_{lm} (\theta , \phi) = l(l+1) \hbar^2 Y_{lm} (\theta , \phi)$

$L_z Y_{lm} (\theta , \phi) = m_z \hbar Y_{lm} (\theta , \phi)$

となる。 $\, Y_{lm}(\theta, \phi)$ が球面調和関数で、 $l(l+1) \hbar^2, m_z \hbar$ がそれぞれの固有値である。今の場合 $\, Y_{lm}(\theta, \phi)$ は $\, L_x$ と $\, L_y$ どちらの固有関数でもないことに注意。 $\, l$ は軌道角運動量量子数（方位量子数）、 $\, m_z$ は軌道磁気量子数と呼ばれ