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非有基的集合論は、集合がそれ自身の要素であることを認め、自己属集合(ある集合が自分自身の要素になっている集合)を許容する集合論である。

概要

数学で一般的に用いられる公理論的集合論は、集合の要素は集合自身を含まないという公理(基礎付け公理)に基づいている。このため、自己参照的な概念のモデル化に用いることは困難だった。これに対して、自己属集合を許容する非有基的集合論は、自己参照や無限遡及を自然に扱うことができるために、計算機科学（プロセス代数と最終意味論）、言語学と自然言語意味論（状況意味論）、哲学（うそつきパラドックスに関する研究）、非標準解析における非終了計算プロセスの論理モデリング、複雑系科学などに応用されている^[1]。

非有基的集合論の研究は、1917年から1920年にかけて発表されたドミトリー・ミリマノフが一連の論文によって先鞭がつけられた^[2]。以後、複数の非有基的集合論の公理系が提案されたものの、専門分野内の議論にとどまり、応用されるはことが少なかった。応用が盛んとなったのは、グラフを用いることで基礎付け公理に基づく集合（well-founded set）と基礎付け公理に基づかない非有基的集合論（non-well-founded set）の両方を許容するHyperset論^[3]をPeter Aczelが1988年に発表した以降のことである。

文献

^ 唐木誠一 (2000). “複雑性の科学と社会システム理論”. 年報社会学論集 2000巻13 号: 38-49. doi:10.5690/kantoh.2000.38.
^ Dellacherie, C. (1977), Les derivations en theorie descriptive des ensembles et le theoreme de la borne, Springer Berlin Heidelberg, pp. 34–46, ISBN 978-3-540-08145-6, http://dx.doi.org/10.1007/bfb0087185 2023年7月17日閲覧。
^ Aczel, Peter (1988). Non-well-founded sets. Menlo Park, Calif: Center for the Study of Language and Information. ISBN 978-0-937073-22-3

外部リンク

Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets, CSLI Lecture Notes, 14, Stanford, CA: Stanford University, Center for the Study of Language and Information, pp. xx+137, ISBN 0-937073-22-9, MR0940014.
辻下徹. (1994). 非有基的集合論入門 http://ac-net.org/tjst/doc/tjst/92hyperset.pdf
辻下徹. (1995). 非有基的集合論の紹介: 自己言及的状況の表現法として (複雑さの理論, 基研長期研究会「複雑系」, 研究会報告). 物性研究, 63(6), 663-666. https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/95526/1/KJ00004736634.pdf

[1] 唐木誠一 (2000). “複雑性の科学と社会システム理論”. 年報社会学論集 2000巻13 号: 38-49. doi:10.5690/kantoh.2000.38.

[2] Dellacherie, C. (1977), Les derivations en theorie descriptive des ensembles et le theoreme de la borne, Springer Berlin Heidelberg, pp. 34–46, ISBN 978-3-540-08145-6, http://dx.doi.org/10.1007/bfb0087185 2023年7月17日閲覧。

[3] Aczel, Peter (1988). Non-well-founded sets. Menlo Park, Calif: Center for the Study of Language and Information. ISBN 978-0-937073-22-3

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