直観論理

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直観論理(ちょっかんろんり)あるいは直観主義論理(ちょっかんしゅぎろんり)とは、従来の論理学(古典論理)は全てのものの真偽が明確になる「神の論理」であるとして、もっと慎ましやかに人間の立場の論理学を考えようということで提唱されたものである。

初期の説明[編集]

初期の段階ではブラウワー直観主義の思想から出てきたもので「である」という代わりに「証明可能」というのを基本とするものと捉えられたのであるが、この時点では理解者をあまり得られなかったし、彼の手法で思考すれば物理学の重要な基本的な定理さえ証明できなくなる、などといったネガティブな面ばかりが強調された。直観論理がそれなりの意味もあるとして研究者が出てくるのはブラウワーの弟子のハイティングが一般の数学者にも分かりやすい説明をするようになってからである。

現代的な説明[編集]

ハイティング (Arend Heyting) の流れを汲む説明をすると、直観論理[1]というのは、真偽値が『完備ハイティング代数(cHa - complete Heyting algebra)』の値をとる論理である。cHaにおいて各要素にその補要素が必ず存在する場合、それは完備ブール代数(cBa - complete Boolean algebra)になるが、特に{0,1}という2要素のみからなるcBaを真偽値とするのが古典論理ということになる。つまり古典論理は直観論理の特別な場合にすぎないのである。グリベンコの定理によれば古典論理を直観論理に埋め込むことができることが知られている。これは直観論理と古典論理がかなり似通った論理体系であることを示唆する。

古典論理で可能な数学のかなりの部分は直観論理でも展開できることがエレット・ビショップ構成的数学の成功などから明らかになっている。直観論理はカリー・ハワード対応をはじめとした計算機科学における主要な関心の対象となっている。

なお、同様にして真偽値を[0,1](0から1までの間の実数)と考えた場合が『ファジィ論理』、真偽値を線形代数にすると『量子論理』となり、これら様々な現代的非古典論理は全てある意味で古典論理の様々な立場での拡張になっているのである。

脚注[編集]

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  1. ^ 正確にいえばこれは直観主義述語論理のことである。直観主義命題論理のハイティング代数値意味論では完備性を要求しない。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]