自由振動

自由振動（じゆうしんどう、英語: free oscillation、英語: free vibration）とは、ある系がその固有振動数で振動することである。減衰のない自由振動では強制振動とは異なり、系に外部から力が作用しなくても運動しつづける。

単振動

フックの法則

詳細は「フックの法則」を参照

多くの弾性体では変形の量が小さい限り復元力$\mathrm{F}$と変形量$\mathrm{kx}$の間に比例関係がある。

$F=-k\,x$ … (1-1)

これをその発見者である17世紀のイギリスの物理学者ロバート・フックの名にちなんでフックの法則とよぶ。フックの法則は、板や棒の曲げのような、伸び縮みとは別種の変形でも同じように成り立つ。

単振動という運動

単振動とは、等速円運動の正射影の運動と同一である。等速円運動に光を当てると影ができる。この影の運動が単振動なのである。単振動している物体を調和振動子と呼ぶ。

単振動は等速円運動の正射影であるために、その性質が等速円運動と非常によく似ている。例えば、周期 T は等速円運動と同じように、

$T={2\pi \over \omega}$ … (1-2)

であらわされ、当然、回転数（単振動では回転数のことを振動数という。定義は回転数と同じ）f も等速円運動と同様、

$f={\omega \over 2\pi}$ … (1-3)
$f={1 \over T}$ … (1-4)

とあらわされる。

単振動の運動方程式

バネの運動を考える。原点 Ｏ をバネの自然長にとり、右方向を x 軸正方向とする。このとき物体には、(1-1) の力が働く。ここで、ニュートンの運動方程式 $\mathrm{F = ma}$ より、

$ma = m{dv \over dt}=m{d^2x \over dt^2}=-kx$ … (1-5)

両辺をmで割ると、

${d^2x \over dt^2} = -{k \over m}x$ … (1-6)

(1-6) 式の x を満たす関数としては、

• $x=-\sin \sqrt{k \over m} t$ … (1-7)
• $x=\cos \sqrt{k \over m} t$ … (1-8)

の二つの特殊解が考えられる。線型微分方程式の性質から、この 2 つの特殊解を線形結合させた

$x=A\sin \sqrt{k \over m} t+B\cos \sqrt{k \over m}t$ … (1-9)

も、(1-6) の解であり、方程式が 2 階であることと (1-7),(1-8) の一次独立性から、これ以外の解はない。つまり (1-9) が (1-6) の一般解である。ここで、$\omega = \sqrt\tfrac{k}{m}$と定めると、(1-9) 式は、

$x=A\,\sin \omega t+B\,\cos \omega t$ … (1-10)

ここで三角関数の合成を利用すると、(1-10) 式は、

$\cos\phi ={A\over \sqrt{A^2+B^2}},\ \sin\phi = {B\over \sqrt{A^2+B^2}}$

を満たした φ を用いて、

$x = \sqrt{A^2+B^2}\sin (\omega t+\phi)$ … (1-11)

とあらわされる。ここで、$\sqrt{A^2+B^2} = C$ とすると、(1-11)は、

$x = C\,\sin (\omega t+ \phi)$ … (1-12)

となる。ここで(1-12)の各数値はそれぞれ以下のような物理量である。

• C；振幅 … 物体の最大の変位の絶対値
• ω；角振動数（固有振動数）
• φ；初期位相

よって、(1-12)であらわされる単振動の x-t グラフを描くと、図 1-5 のような正弦曲線を描く。 初期位相によって時刻 0 のときの物体の位置が決まる。このグラフの場合は以下の通り。

• 初期位相 $-\tfrac{\pi}{2}$ … 時刻 0 のときの座標 -C
• 初期位相 ${0}$ … 時刻 0 のときの座標 $0$
• 初期位相 $\tfrac{\pi}{2}$ … 時刻 0 のときの座標 C

調和振動子のエネルギー

振動している物体の運動エネルギーと位置エネルギーについて述べる。運動エネルギーは

$K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega^2C^2\cos^2({\omega t+\phi})$ … (1-13)

で与えられるが、位置エネルギーは力学の保存力の場合における力とポテンシャルの関係から、

$U(x)=\frac{1}{2}kC^2\sin^2({\omega t+\phi})$ … (1-14)

となる。したがって、$\mathrm{m\omega ^2=k}$であるから、全エネルギー$\mathrm{E}$は次式となり

$E=K+U=\frac{1}{2}kC^2$ … (1-15)

全エネルギーが振幅の２乗とばね定数に比例し、一定値を取ることになる。これは力学的エネルギーの保存則と矛盾しない。

単振動の合成

単振動を2つ以上加え合わせることを単振動の合成という。1つの質点に、平行な2つの単振動の合成を行うとき、この質点の運動は次のように扱うことができる。 始めに振動している質点の運動の解が

$x_1=A\,\cos{\omega_1t+\alpha}$ … (1-16)

別の振動による質点の運動の解が

$x_2=B\,\cos{\omega_2t+\beta}$ … (1-17)

これは具体的に、板の上で単振動している質点があり、さらにその板が地面に対して同じ方向に単振動している場合に当たる。この解は一般にかなりの複雑な運動を表すが、角振動数がある特別な整数比になる場合には、比較的簡単な扱いができる。例えば、初期位相が0で振幅と角振動数がいずれも2:3になる場合には、

$x_1=2a\cos 2\omega t,\,x_2=3a\cos 3\omega t$
$x=2a\,\cos 2\omega t +3a\,\cos 3\omega t$

… (1-18)

2つの単振動の振幅が等しい場合には、(1-17)は

$\mathrm{x=C{\cos{\omega_1t+\alpha}+\cos{\omega_2t+\beta}}}$
${}=2C\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t+\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$

… (1-19)

のように書き換えられる。角振動数がほんのわずかだけ違っている場合には、

$\frac{|\omega_1-\omega_2|}{2}=\triangle \omega,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\approx \omega_1$… (1-20)

となり、因子Δωを含む振動項は非常にゆっくりと振動し、一方の振動項ははじめと同じ振動$(\omega_1\approx \omega_2)$を続けることとなる。したがって、ゆっくりと振動をする部分のために、うなりという現象が生じる。ちょうど因子Δωを含む振動項の1周期Tの間に2度うなりを感ずるので、はじめの2つの単振動の振動数をそれぞれと$\gamma_1,\,\gamma_2$すると、このうなりの振動数fは次式となる。

$f=\frac{2}{T}=2\left( \frac{|\omega_1-\omega_2|}{2}\frac{1}{2\pi} \right)=|\gamma_1-\gamma_2|$ … (1-21)

自然界における単振動

単振動は最も基本的な振動運動であり、自然界においてもよくみられる。特に、ポテンシャルU(x)がある位置x=x₀において最小値U(x₀)=U₀を持つような力学系の場合は、ポテンシャルの最小点x=x₀付近での微小な運動は単振動として近似することができる。

このポテンシャルU(x)をx=x₀でテイラー展開すると

$U(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-x_0)^n}{n!}U^{(n)}(x_0)=U(x_0)+(x-x_0)U'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2!}U''(x_0)+\frac{(x-x_0)^3}{3!}U'''(x_0)+\cdots$

となるが、運動をx=x₀から微小な範囲に限定すると、x-x₀は微小量となるため3次以上は無視できる。また、x=x₀でポテンシャルU(x)が最小値をとることから、

$U'(x_0)=0,\quad U''(x_0)>0$

である。これらのことを考慮すると、

$U(x)\approx U_0 + \frac{U''(x_0)}{2}(x-x_0)^2$

となる。このポテンシャルによる力Fは

$F=-U'(x)$

で与えられるので、U''(x₀)=k(>0)とおくと、

$F=-U'(x)=-k(x-x_0)$

これはx₀を中心とする単振動を表す方程式である。

このことから、固体分子・原子の熱振動のような微小な振動運動は、単振動であることがわかる。

振り子

振り子（Pendulum）は、定まった点または軸の周りを、一定周期で振動する物体。時計や地震計などに用いられる。

単振子

伸び縮みしない軽い糸の一端を固定し、他端に質点とみなせるほど小さくて重いおもりをつるし、重力の作用でひとつの鉛直面内を振動するようにした振り子（単振子：たんしんし）（振り子が一鉛直面内ではなく球面上を動く場合は球面振り子という）。振幅が小さければおもりの運動は単振動とみなすことができ、周期 T は、

$T=2\pi \sqrt{l\over g}$ … (2-i)

とあらわされる。

単振り子の運動方程式

長さ $l$ の糸の先に質量 $m$ のおもりをつけ、糸の他端を固定してつり下げる（図 2-1）。

おもりを少し横に引いて手を放すと、おもりは糸の固定点の真下の振り子のつりあいの位置 Ｏ を中心として往復運動を始める。おもりは糸の上端の固定点を中心とした円周上を運動するから、振り子のつり合いの位置 Ｏ を原点として、円周に沿って$x$ 軸をとると、おもりの運動は $x$ 軸上の一次元の運動と見ることができる。このとき、おもりの運動に関わる力はおもりに働く重力 $mg$ の円周への接線方向だけである。ここで、重力 $mg$ の円周への法線方向と糸の張力重力 $T$ は、おもりの運動を円周上に拘束する役割をしている。糸の鉛直方向となす角が $\theta$ のとき、おもりの $x$ 軸上にかかわる力 $F$ は、

$F = -mg \sin\theta$ … (2-ii)

となる。おもりの座標 $x$ と $\theta$ は、

$\theta ={x \over l}$ … (2-iii)

であるから、おもりについての運動方程式は、

$F = -mg \sin{x \over l}$ … (2-iv)
$ma = -mg \sin{x \over l}$ … (2-v)
${d^2x \over dt^2} = -g\sin {x \over l}$ … (2-vi)

ここで、微小角 $\theta$ について成り立つ近似

$\sin\theta \approx \theta$ … (2-vii)

を用いて、(2-vi) 式を変形すると、

${d^2x \over dt^2} = -g{x \over l}$ … (2-viii)

となる。(2-viii) は (1-vii) 式と同じ形であるから、運動は単振動となる。角振動数は、

$\omega = \sqrt{g \over l}$ … (2-ix)

したがって、周期は前節 (2-i) 式のようになる。周期が振幅によらず一定であることは、振り子の等時性として知られている。

単振り子の等時性の破れ

等時性の破れを主眼に置き、式の近似を用いない解法を考える。以下では $\frac{d \theta }{dt}= \dot{\theta}$と表記する。

角度の状態遷移を表す微分方程式が $ml \ddot{\theta} + mg \sin \theta = 0$であることは簡単に導出される。これにエネルギーを考慮するため、両辺に$l \dot{\theta}$をかけ、$t=0$において$\theta=\theta _0$ 、$\dot{\theta}=0$ であったとして$t$について$0$から$t$まで積分すると

$\frac{1}{2} m \left( l \dot{\theta} \right)^2 - mgl \cos \theta = -mgl \cos \theta _0$．

ここで$\omega = \sqrt {g/l}$と置き上式を変形すると

$\dot{\theta} ^2 =2 \omega ^2 \left(\cos \theta - \cos \theta_0 \right)$．

さらに$\cos \theta = 1-2 \sin^2 \left( \theta /2 \right)$を用い上式を変形すると

$\dot \theta = \pm 2 \omega \sqrt{\sin^2(\theta_0 /2) - \sin^2(\theta / 2)}$．

このとき右辺にtが陽に現れていないため、t=0に$\theta=0$となるように時間シフトを行うことができる。

上式を用い$\theta = 0$ から$\theta = \theta _0$となる時刻を計算すると

$t=\frac{1}{2 \omega} \int _ {0} ^ {\theta _ 0} \frac{1}{\sqrt{\sin^2(\theta_0 /2) - \sin^2(\theta / 2)}} d\theta$．

この値の4倍にあたる4tが振り子の周期である。$\sin(\theta_0 /2)=a$、$\sin(\theta /2)=a \sin \phi$と置換すると結局周期は

$T=\frac{4}{\omega} \int _ {0} ^ {\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - a^2 \sin^2 \phi}} d\phi$．

上式の定積分は完全楕円積分であるため初等的に扱うことは困難であるので

$\frac{1}{\sqrt{1 - a^2 \sin^2 \phi}} = 1 +\frac{1}{2}a^2 \sin^2\phi+\frac{1}{2}\frac{3}{4}a^4 \sin^4 \phi+\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6} a^6 \sin^6 \phi+\cdots$，

とテーラー展開し各項を積分すると周期は

$T= \frac{2 \pi}{\omega} \left[1+\left( \frac{1}{2} \right)^2 a^2 + \left( \frac{1}{2}\frac{3}{4} \right)^2 a^4 + \left( \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6} \right)^2 a^6+ \cdots \right]$．

Tは明らかにaの、つまり$\theta _0$の関数であるため、等時性は破れた。$a\ll 1$とすると、 $T= \frac{2 \pi}{\omega}$となり$\sin \theta = \theta$と近似した時と一致する。

サイクロイド振り子

どのような振幅においても振り子の等時性を保つためには、おもりの軌道がサイクロイド曲線となるように系を調整すればよい。ガリレイにより発見された振り子の等時性が正確に成り立たないことに気づいたホイヘンスによって発見されたこの振り子は「サイクロイド振り子」と称され、周期 T は振幅に依存することなく、正確に

$T=2\pi \sqrt{l\over g}$

となる。

関連項目

• 強制振動
• 減衰振動
• ニュートン力学
• 共振現象