減衰振動

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減衰振動(げんすいしんどう、: damped oscillation[1])とは、振幅が徐々に小さくなるような振動現象である。単振動などは永久に動き続ける運動であるが、実際にそのような実験を行うと、空気抵抗摩擦力などの抵抗力を受け、いずれは停止してしまう。そのような運動を減衰振動を呼ぶ。

運動方程式[編集]

減衰振動のもっとも単純なモデルは、壁とおもりをばねでつないだ調和振動子モデルに、速度比例する抵抗力を発生するダンパを加えたものである。おもりの質量m > 0、ダンパの減衰係数をγ > 0、ばね係数k > 0、おもりの位置をx (t) とすると、このモデルの運動方程式は次の線形微分方程式となる:

m\ddot{x}(t) + \gamma\dot{x}(t) + kx(t) = 0

さらに初期条件として次を与える:

x(0) = x_0 :初期位置
\dot{x}(0) = v_0 :初期速度

ここで上付きドットは時間微分である。

簡略表現[編集]

運動方程式の簡略表現として、次がよく用いられる:

\ddot{x}(t) + 2\zeta\omega_0\dot{x}(t) + \omega_0^2 x(t) = 0

ここで、

無次元形式[編集]

さらに初期条件も含めて無次元数で表すと、

\chi''(\tau) + 2\zeta\chi'(\tau) + \chi(\tau) = 0,
\chi(0) = 1, \quad \chi'(0) = \sigma

となる。ここで

  • ' = \mathrm{d}/\mathrm{d}\tau
  • \tau = \omega_0 t :無次元時間
  • \chi = x/x_0 :無次元振幅
  • \sigma = \frac{v_0}{x_0\omega_0} :無次元初期速度

上式から分かるように、この運動を支配するパラメータは本質的に減衰比ζと初期速度σの2つしかない。このことは次元解析をすることによっても分かる。

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この運動の解は減衰比ζの大きさによって3つに分類される。

減衰振動[編集]

0 < ζ < 1のとき

x(t) = C e^{-\zeta\omega_0 t} \cos\left(\omega_0 t\sqrt{1-\zeta^2}-\alpha\right)

ただし

  • C = x_0 \sqrt{1 + \left(\frac{\frac{v_0}{x_0\omega_0}+\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)^2}
  • \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{v_0}{x_0\omega_0}+\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)

この解は正弦波の振幅が指数関数的に小さくなるような運動であり、狭義にはこの解のみを指して減衰振動と呼ぶ。

臨界減衰[編集]

ζ = 1のとき

x(t) = x_0 e^{-\omega_0 t} \left\{\left(\frac{v_0}{x_0}+\omega_0\right)t+1\right\}

過減衰[編集]

ζ > 1のとき

x(t) = x_0 e^{-\zeta\omega_0 t} \left\{ \cosh\left(\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}\right) + \frac{\frac{v_0}{x_0\omega_0}+\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}} \sinh\left(\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}\right) \right\}

臨界減衰および過減衰のときは、減衰係数が大きすぎるために振動するような解ではなくなっている。

指数関数を使った表現[編集]

減衰比ζが1でないときの解は、オイラーの公式などを用いて三角関数双曲線関数指数関数に直すことによって統一的に書き下すことができる。

x(t) = \frac{x_0}{2} e^{-\zeta\omega_0 t} \left\{ \left(1+\frac{\frac{v_0}{x_0\omega_0}+\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}}\right)e^{\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}} + \left(1-\frac{\frac{v_0}{x_0\omega_0}+\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}}\right)e^{-\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}} \right\}

エネルギーの散逸[編集]

減衰振動の運動方程式のエネルギー積分を考えると、系の力学的エネルギーがダンパの減衰力によって小さくなっていくことを見ることができる。エネルギーW

W(\dot{x},x) \equiv \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2

とすると、その時間変化は

\begin{align}\frac{dW}{dt}
&= \frac{\partial W}{\partial \dot{x}}\frac{d\dot{x}}{dt} + \frac{\partial W}{\partial x}\frac{dx}{dt} \\
&=-\gamma \dot{x}^2\leq 0
\end{align}

となり、減衰係数γに比例した大きさで減少することが分かる[2]

Q値

Q=\frac{1}{2\zeta}

となる。

参考文献[編集]

  1. ^ 文部省日本物理学会編 『学術用語集 物理学編』 培風館1990年ISBN 4-563-02195-4
  2. ^ 吉川茂; 藤田肇 『基礎音響学』 講談社サイエンティフィク、2002年、21-32頁。ISBN 4-06-153972-8 

関連項目[編集]