共円四辺形

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円に内接する四角形の例

初等幾何学における共円四辺形(きょうえんしへんけい、: concyclic quadrilateral, cyclic quadrilateral[注釈 1])または円に内接する四辺形あるいは(円)内接四辺形 (inscribed quadrilateral) は、そのすべての頂点が「同一円周上にある」ような四辺形を言う。このとき、すべての頂点が共有するは外円 (circumcircle) または外接円(その中心および半径をそれぞれ外心および外半径)と呼び、またすべての頂点は共円 (concyclic) であると言う。共円四辺形は全ての辺が外接円のとなっているような四辺形であるから、chordal quadrilateral[注釈 2]とも言う。通常、共円四辺形はなものを考えるが、自己交叉型の共円四辺形(交叉共円四辺形)を考えることもできる。以下本項では凸四辺形に限って述べることにする。

すべての三角形が外接円を持つのに対して、四辺形の場合には必ずしもそうではない—例えば正方形でない菱形は共円でない(四辺形が外接円を持つための必要十分条件については#特徴付け節を参照)。任意の正方形矩形等脚台形交叉平行四辺形英語版は共円である。凧形が共円となるための必要十分条件は、それが二つの直角を持つことである。双心四辺形は円内接四辺形であるとともに円外接四辺形英語版でもあるような四辺形であり、傍双心四辺形英語版[訳語疑問点]は円内接かつ円傍接英語版であるような四辺形を言う。

特徴付け[編集]

A cyclic quadrilateral ABCD
  • 凸四辺形が共円であるための必要十分条件は四つある辺の垂直二等分線共点となる(つまり一点で交わる)ことである。このとき共有される点は外心と呼ばれる[1]
  • 凸四辺形 □ABCD が共円となるための必要十分条件は、その向かい合う角が互いに補角となることである。式で書けば、四つの角が隣り合う順に α, β, γ, δ の角度を持つとすれば
    と書ける[1]。直接の定理はエウクレイデス『原論』第3巻の命題22[2]であるが、同値な言い換えとして、凸四辺形が共円となるための必要十分条件は、その各外角内対角に等しいことである。
  • 凸四辺形 □ABCD が共円となる別の必要十分条件は、ひとつの辺と一方の対角線との間の角が対辺と他方の対角線との間の角に等しいことである[3]。つまり例えば のときはそうである。
  • トレミーの定理の述べるところは、共円四辺形のふたつの対角線の長さ e, f の積は、二組ある対辺の長さの積の和に等しいことである。式では
    と書ける[4]:25。逆もまた成り立ち、この式を満たす凸四辺形は共円四辺形となる。
  • 二つの直線があり、一方が線分 AC を他方が線分 BD を含み、点 P で交わるとする。このとき四点 A, B, C, D が共円となるための必要十分条件は、線分の長さについて
    が成り立つことである[5]:179。このとき、交点 P は四点が共有する円の内部にも外部にも位置しうる。前者の場合では □ABCD が共円四辺形となり、後者の場合では □ABDC が共円四辺形を成す。また前者の場合において上記の等式は、一方の対角線を P で分割して得られる線分の長さの積が他方のそれと等しいことを述べるものとなる。このことは、この共円四辺形の対角線が外接円の弦であることから交弦定理英語版と呼ばれる。
  • もっとほかの特徴づけとして、凸四辺形 □ABCD が共円となるための必要十分条件は
    が成り立つことである[6]

面積公式[編集]

共円四辺形の面積 K は、その四辺の長さを a, b, c, d とすれば、ブラーマグプタの公式により

と与えられる[4]:24。ここに、s := 1/2(a + b + c + d)半周長である。これは一般の四辺形に対して成立するブレートシュナイダーの公式において、共円の場合に向かい合う角が補角であることを適用したとして得られる。さらに d = 0 であるとすれば、共円四辺形は三角形に退化するから、ブラーマグプタの公式もヘロンの公式に退化する。

共円四辺形は、各辺がそれぞれ決まった長さの並びであるようなすべての四辺形の中で最大の面積を持つ(これもまたブレートシュナイダーの公式の系であるし、微分積分学を用いても証明できる)[7]

ブラーマグプタの公式を見れば、各辺の長さがどの二つも異なり他の三つの辺の長さの和よりも小さいという条件のもとで、そのような長さの辺を持つ共円四辺形は面積が決まれば合同の違いを除いて三種類しかないことが分かる[8]。具体的に言えば、各辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d であったときに、長さ a の辺と残りの長さ b, c, d の辺のどれとでもよいから入れ替えるならば、面積は同じで、しかも合同にはならない。

共円四辺形の面積は、辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d で長さ a および b の辺の成す角度が B であるとき

と表せる[4]:25。あるいは日本の対角線の成す角度を θ とすれば
である[4]:26。また A が直角でないならば
とも書ける[4]:26

もっと別の形では、外半径を R として、

というものもある[9]:83。すると直ちに
がわかるが、ここで等号が成り立つのは考える四辺形が正方形のときであり、かつそのときに限る[10]

対角線公式[編集]

共円四辺形の頂点が隣り合う順に A, B, C, D であり、各辺の長さを a := AB, b := BC, c := CD, d := DA とするとき、対角線の長さ p := AC, q := BD は辺の長さを用いて

と表せる[4]:25[11][12]:84。よって、トレミーの定理
も示せる。同じ設定のもと、トレミーの第二定理に従えば
である[4]:25[11]

対角線の長さの和に関して不等式

が成り立つ[13]:p.123,#2975。ここで等号が成り立つための必要十分条件が、二つの対角線の長さが一致することであるということを、相加相乗平均の関係式を用いて示せる。さらに
が成り立つ[13]:p.64,#1639

任意の凸四辺形が二つの対角線によって四つの三角形に分割されるが、共円四辺形においてそれら四つの三角形の向かい合う対は互いに相似になる。

二つの対角線 AC, BD の中点をそれぞれ M, N とすれば

が成り立つ[14]。ここに点 E, F は向かい合う辺を延長したときにできる交点とする。共円四辺形 □ABCD の二辺 ACBDE で交わるとすると
が成り立つ[15]

共円四辺形を成す辺の集合が一つ与えられれば、それらの並びだけを替えて、外接円と面積を変えることなく、三つの相異なる共円四辺形を作ることができる(面積が変わらないことはブラーマグプタの公式からわかる)。そのような共円四辺形のどの二つも、ひとつの対角線の長さは共通である[12]:p84

角公式[編集]

共円四辺形の辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d で与えられているものとし、半周長s と書く。

  • a, d の二辺の間の角 ∠A における各三角函数の値は
    で与えられる[16]:202
  • 二つの対角線の成す角度を θ とすれば
    が成り立つ[4]:26
  • 向かい合う二辺 a, c を延長した直線が角度 φ で交わるならば
    が成り立つ[4]:31

パラメシュヴァーラの外半径公式[編集]

共円四辺形の辺を隣り合う順に a, b, c, d とし、その半周長を s := (a + b + c + d)/2 と書けば、その四辺形の外半径(外接円半径R

で与えられる[11][17]。これは15世紀のインドの数学者 Vatasseri Parameshvara によって導かれた。

ブラーマグプタの公式を用いれば、上記の公式は

と書き直せる。ただし K はこの共円四辺形の面積である。

反中心・共線性[編集]

四辺形において、一辺に垂直で対辺の中点を通る線分は(「中点からの垂線」の短縮形として)中垂線英語版 (maltitude) と呼ばれる[18]。共円四辺形の各辺に引いた四つの中垂線は一点で交わる[19]:p.131[20]。このときの共通交点は反中心 (anticenter) と呼ばれる。反中心は、「頂点重心」の外心に関する鏡像になっているという特徴を持つ点である。したがって、共円四辺形では外心、「頂点重心」、反中心は同一直線上にある[20]

共円四辺形のふたつの対角線の交点を P とし、対角線の中点をそれぞれ M, N とするならば、その共円四辺形の反中心は三角形 △MNP垂心に一致する。

その他の性質[編集]

丸山良寛の定理
  • 共円四辺形 □ABCD において、四つの三角形 △DAB, △ABC, △BCD, △CDA内心をそれぞれ M1, M2, M3, M4 とすれば、この四点を頂点とする四辺形は矩形になる。これは日本人の定理と呼ばれる定理のひとつで、丸山良寛の定理と呼ばれる。同じ四つの三角形の、こんどは垂心を考えればそれらを頂点とする四辺形は □ABCD に合同であり、また重心で同様に考えれば別の共円四辺形となる[3]
  • 共円四辺形 □ABCD の外心を O とし、二つの対角線 ACBD の交点を P とするとき、∠APB の角度は ∠AOB∠COD算術平均である。これは円周角の定理外角定理からの直接の帰結である。
  • 面積が有理数で、どの二つも相異なる有理数の長さの辺となるような四辺形で、その辺の長さが算術数列または幾何数列を成すとき、そのような四辺形は共円でない[21]
  • 共円四辺形の辺の長さが算術数列を成すならば、その四辺形は円傍接英語版(したがって、傍双心)である。
  • 共円四辺形の二組の向かい合う辺を延長して、それらがそれぞれ点 E, F で交わるならば、E および F のそれぞれにおいてなす角の二等分線は直交する[8]

ブラーマグプタの四辺形[編集]

ブラーマグプタ (Brahmagupta) の四辺形とは、辺の長さおよび対角線の長さが全て整数で面積も整数となる共円四辺形をいう[22]。すべてのブラーマグプタの四辺形は、その辺の長さを a, b, c, d, 対角線の長さを e,f とし、面積を K, 外半径を R と書けば、有理数の範囲を動くパラメータ t, u, v を用いて書ける以下の公式

 から、分母を払う英語版 ことで得られる。

対角線が直交する場合[編集]

外半径と面積[編集]

共円四辺形でなおかつ直交対角線英語版である(つまり二つの対角線が互いに垂直である)ようなものに対し、二つの対角線の交点が一方の対角線を長さ p1 および p2 の線分に分け、他方の対角線を長さ q1 および q2 の線分に分けるものとすると

(最初の等号は、アルキメデス『補題の書』英語版の命題11による)が成り立つ[23]。ここで D外接円直径である。これが成り立つのは、二つの対角線が円の弦に垂直であることによる。これら等式から、外半径 R
と表せることが分かる。これはまた辺の長さを用いて
とも書ける[19]。あるいはまた
も成り立つ[19]。ゆえに、オイラーの四辺形定理英語版に従えば、外半径は二つの対角線の長さ p, q とそれら対角線の中点間の距離 x を用いて
と表せる。

共円直交対角線四辺形の面積 K を四辺の長さで表す公式は、トレミーの定理と直交対角線四辺形の面積公式を組合わせることで直接的に得られる。それは

というものである[24]:222

その他の性質[編集]

  • 共円直交対角線四辺形において、反中心は対角線の交点となる点に一致する[19]
  • ブラーマグプタの定理の述べるところによれば、共円四辺形がさらに対角線が直交英語版するならば、対角線の交点から任意の辺に下ろした垂線は対辺を二等分する[19]
  • 共円四辺形が直交対角線でもあるならば、外心から任意の辺へ測った距離は対辺の長さの半分に等しい[19]
  • 共円直交対角線四辺形において、二つの対角線それぞれの中点同士の距離は、外心と対角線の交点との距離に等しい[19]

共円球面四辺形[編集]

球面幾何学において、交わる四つの大円から形作られる球面四辺形が「共円」となるための必要十分条件は、二組の向かい合う角の和が等しい(つまり、隣り合う順に四つの角度が α, β, γ, δ であるとき、α + γ = β + δ ちなる)ことである[25]。この定理の一つの方向は1786年に I. A. Lexell が示した[26]。(Lexell 1786) では、球の小円に内接する球面四辺形において向かい合う角の和が等しいことおよび外接する球面四辺形において向かい合う辺の和が等しいことが示されている。この二つの定理について、前者は平面幾何における同様の定理の球面幾何版であり、後者は前者の双対(つまり大円と極点との役割をいれかえたもの)になっている[27]。Kiper らはこの定理の逆「球面四辺形において向かい合う辺の長さの和が等しいならば、この球面四辺形に内接する円が存在する」を示した[28]

関連項目[編集]

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[脚注の使い方]

注釈[編集]

  1. ^ "cyclic" は 古希: κύκλος (kuklos) に由来し、「円状」とか「輪状」の意
  2. ^ 直訳するなら「弦四辺形」あるいは「四弦形」

出典[編集]

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参考文献[編集]

外部リンク[編集]