円 (数学)

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数学において、(えん)とは、平面(2次元ユークリッド空間)上の、ある点 O からの距離が等しいの集合でできる曲線のことをいう。この点 O を円の中心、中心から円周上の 1 点を結んだ線分、あるいは、その線分の長さ半径という。中心が点 O である円を円 O と表すことも多い。定幅図形の一つ。

円の内部を含めて円ということもある。この場合は、曲線のことを円周という。対して、内部を含めていることを強調するときには円板という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して、円形ということもある。

数学以外の分野ではこの曲線のことを「(まる)」という俗称で呼称することがある。

円: 中心、半径・直径、円周

円の性質[編集]

弦と弧[編集]

円周上の 2 点 A, B があるとき、線分 AB をといい、弦 AB という。特に円の中心を通る弦を円の直径という。直径の長さは半径の 2 倍である。円周の長さの直径の長さに対する比の値は円に依らず一定であり、これを円周率といい普通 π で表す。円の半径を r(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2πr で表される。また、円の面積は、πr2 で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。(等周問題

中心角と円周角

弦を含む直線を、この円の割線と呼ぶ。割線によって円周は 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を 円弧 (arc) または単にという。

2つの弧の長さが等しくないとき、長い方の弧を 優弧 (major arc)、短い方の弧を劣弧 (minor arc) という。
2つの弧の長さが等しいとき、これらの弧を 半円周 という。このとき、割線は円の中心を通り、中心線という。

円周上の2点 A, B を両端とする弧を弧 AB と呼ぶ。記号では、⌒AB と表記する(記号 ⌒ は AB の上にかぶせて書くのが正しい)。これでは優弧・劣弧のどちらであるかを指定できていないデメリットがあり、一方を特定したい場合は、その弧上の点 P を用いて ⌒APB のように表記する。

円 O の周上に2点 A, B があるとき、半径 OA, OB と弧 AB とで囲まれた図形を扇形 (sector) O-⌒AB という。また、扇形に含まれる側の ∠AOB を弧 AB に対する中心角という。中心角とその角が見込む弧の長さは比例する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。

弦 AB と弧 AB で囲まれた図形を弓形 (segment) という。

中心角と円周角[編集]

弧 AB に対して、弧 AB 上にない円 O の周上の点 P を取るとき、∠APB を弧 AB に対する円周角という。弧 AB に対する円周角は点 P の位置に依らず一定であり、中心角 AOB の半分に等しい(円周角の定理)。特に弧 AB が半円周のときは、弧 AB に対する円周角は直角である(直径を見込む円周角)。

円と内接四角形

円 O の周上に 4 点 A, B, C, D があるとき、四角形 ABCD は円 O に内接するという(内接四角形)。このとき、円 O を四角形 ABCD の外接円という。四角形が円に内接するならば、四角形の対角の和は平角に等しい(内接四角形の定理)。円に内接する四角形の外角の大きさは、その内対角の大きさに等しい。また、これらの逆も成立する(四点共円定理、内接四角形の定理)。

接弦定理

円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の接線 (tangent) といい、共有点を接点という。円の中心と接点を結ぶ半径(接点半径)は、接線と接点で直交する。

円の外部の点 A から円 O に2つの接線が描ける。この接点を S, T とすると、線分 AS, AT の長さを接線の長さという。接線の長さは等しい。

円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい(接弦定理)。すなわち、下図で AT が接線ならば、∠BAT = ∠APB である。接弦定理は逆も成立する。

円の接吻数は6である。これは当たり前のことだが完全な証明は1910年までできなかった。

2円の位置関係[編集]

半径が異なる2円の位置関係

2つの円(円 A, 円 B とする)の位置関係は次の場合に分けられる。

  1. 円 A が円 B の内部にある場合 : 円 B は円 A を内包するという。特に、2円の中心が一致するとき、円 A と円 B は同心円であると呼ぶ。
  2. 円 A が円 B の周または内部にあり、共有点が1点の場合 : 円 A は円 B に内接するという。
  3. 2円の共有点が2点の場合 : 2円に共通する弦を共通弦という。
  4. 円 A が円 B の周または外部にあり、共有点が1点の場合 : 円 A は円 B に外接するという。
  5. 円 A が円 B の外部にあり、共有点がない場合

共通接線[編集]

2つの円に共通する接線を共通接線という。特に、2円が共通接線に関して同じ側にあるとき共通内接線、異なる側にあるとき共通外接線という。

上記の場合分けにおいて、描ける共通接線の個数は、

  1. なし
  2. 共通外接線1本
  3. 共通外接線2本
  4. 共通内接線1本、共通外接線2本の計3本
  5. 共通内接線2本、共通外接線2本の計4本

座標における方程式[編集]

デカルト座標で、点 (a, b) を中心とする半径 r の円は、陰関数

(x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2標準形

で与えられる。特に中心が原点に等しい場合は

x^2 +y^2 =r^2

と表される。

また、これを展開し整理すると

x^2 +y^2 +lx+my+n=0一般形

の形である。

この一般形においては、文字定数が l, m, n の3個である。そのため、円の中心と半径が与えられていない場合でも、任意の異なる3点(ただし同一直線上にない場合)が与えられれば、その3点を通る円の方程式を求めることができる。

異なる3点を点 (xi, yi) (i = 1, 2, 3) とすると、行列式を用いて、

\begin{vmatrix}
x^2+y^2 &x &y &1\\
{x_1}^2 +{y_1}^2 &x_1 &y_1 &1\\
{x_2}^2 +{y_2}^2 &x_2 &y_2 &1\\
{x_3}^2 +{y_3}^2 &x_3 &y_3 &1
\end{vmatrix} =0

と表すことができる。

円の幾何学[編集]

三角形や円に関する事柄を扱う幾何学(相似や面積を用いない)は円論と呼ばれ、古来非常に深く研究されてきた。最も平面幾何学らしい幾何学とも呼ばれる。

九点円の定理[編集]

三角形の

それぞれの頂点から対辺に下ろした垂線の足(3つ)
辺の中点(3つ)
頂点と垂心を結んだ線分の中点(3つ)

は全て同一円上にある。この円のことを九点円と呼ぶ。

六点円の定理[編集]

三角形のそれぞれの頂点から下ろした垂線の足から他の二辺に下ろした、合計 6 個の垂線の足は、同一円周上にある、という定理。中学で習う円の性質だけで証明することができるが、かなり難解。

パスカルの定理[編集]

円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。さらに拡張して、二次曲線上に異なる6つの点 P1~P6 を取ると、直線 P1P2 と P4P5 の交点 Q1、P2P3 と P5P6 の交点 Q2、P3P4 と P6P1 の交点 Q3 は同一直線上にある。また、Pi における接線と Pj における接線の交点を Rij とすると、3 直線 R12R45, R23R56, R34R61 は1点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。

フォイエルバッハの定理[編集]

三角形の内接円は、九点円に内接する。

一般化[編集]

3 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合を球面という。内部を含めた球面をという。一般に、n を自然数とするとき、n + 1 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合のことを、n 次元球面といい、Sn と書く。円は 1 次元球面である。

2つの点(焦点と呼ばれる)からの距離の和が一定であるような点の軌跡を楕円という。楕円は一般に円を潰したような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である(このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる)。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを正円(せいえん)または真円(しんえん)と呼ぶことがある。

拡幅円弧の長さ[編集]

半径 R の円弧上の始点で幅 w1、終点で幅 w2 の拡幅円弧の長さの計算

  • L=R\theta
  • k=\frac{w_2 -w_1}{L}

とすると、

dL=(R+w_1 +kR\theta )d\theta
\begin{array}{rcl}
Lw &= &\displaystyle (R+w_1 )\theta +\frac{1}{2} kR\theta^2 \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{w_1}{R} +\frac{kL}{2R} \right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} ( w_1 +\frac{1}{2}kL)\right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \left( w_1 +\frac{1}{2} (w_2 -w_1 )\right) \right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \frac{w_1 + w_2}{2} \right\} \\
&= &\displaystyle \left( R+\frac{w_1 +w_2}{2} \right) \theta
\end{array}

ゆえに、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。

関連項目[編集]