ブレートシュナイダーの公式

ブレートシュナイダーの公式（ブレートシュナイダーのこうしき、Bretschneider's formula）は、四角形の面積を与える公式である。四角形ABCD について、a, b, c, d をそれぞれの辺の長さ、s を半周長、A と C を互いに対角とすると、四角形の面積は

{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}}

に等しい。円に内接する四角形の面積を表したブラーマグプタの公式の一般化であり、凸四角形や凹四角形について成り立つ。名前の由来はドイツの数学者カール・アントン・ブレートシュナイダー（1808–1878）にちなむ。

証明

四角形の面積を S とすると、

S

{\begin{aligned}&={\frac {1}{2}}ad\sin A+{\frac {1}{2}}bc\sin C\end{aligned}}

より

4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}A+(bc)^{2}\sin ^{2}C+2abcd\sin A\sin C

を得る。また、余弦定理より、

{\text{BD}}^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos A=b^{2}+c^{2}-2bc\cos C

であるから

{\frac {1}{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}=(ad)^{2}\cos ^{2}A+(bc)^{2}\cos ^{2}C-2abcd\cos A\cos C

を得る。4S² についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、

4S^{2}+{\frac {1}{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(A+C)

となる。倍角の公式 $1+\cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}$ を用いて変形すると、

16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}

となる。この式は、半周長

s={\frac {a+b+c+d}{2}}

を用いて

16S^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}

となり、ブレートシュナイダーの公式を得る^[1]。