三角関数

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三角関数(さんかくかんすう、: trigonometric function)とは、平面三角法における、の大きさと線分の長さの関係を記述する関数および、それらを拡張して得られる関数の総称である。三角関数という呼び名は三角法に由来するもので、後述する単位円を用いた定義に由来する呼び名として、円関数(えんかんすう、: circular function)と呼ばれることがある。

三角関数には以下の6つがある。

  • sin(正弦sine
  • sec(正割secant
  • tan(正接tangent
  • cos(余弦cosine
  • csc(余割cosecant
  • cot(余接cotangent

特に sin, cos幾何学的にも解析学的にも良い性質を持っているので、様々な分野で用いられる。例えば電気信号などは正弦関数と余弦関数を組み合わせることで表現することができる。この事実はフーリエ級数およびフーリエ変換の理論として知られ、音声などの信号の合成や解析の手段として利用されている。他にもベクトル外積内積は正弦関数および余弦関数を用いて表すことができ、ベクトルを図形に対応づけることができる。初等的には、三角関数は実数変数とする一変数関数として定義される。三角関数の変数の対応するものとしては、図形のなす角度や、物体の回転角、波や信号のような周期的なものに対する位相などが挙げられる。

三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数の累乗逆関数に関するものがある。通常、関数 f (x) の累乗は (f (x))2 = f (x)・f (x)(f (x))−1 = 1 / f (x) のように書くが、三角関数の累乗は sin2x のように書かれることが多い。逆関数については通常の記法 (f−1(x)) と同じく、sin−1x などと表す(この文脈では従って、三角関数の逆数は分数を用いて 1/sin x のように、あるいは (sin x)−1 などと表される)。文献あるいは著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。また、三角関数の逆関数として −1 と添え字する代わりに関数の頭に arc とつけることがある(たとえば sin の逆関数として sin−1 の代わりに arcsin を用いる)。

三角関数に似た性質を持つ関数として、指数関数双曲線関数ベッセル関数などがある。また、三角関数を利用して定義される関数としてしばしば応用されるものにsinc関数がある。

定義[編集]

直角三角形による定義[編集]

∠C を直角とする直角三角形ABC

直角三角形において、1 つの鋭角の大きさが決まれば、三角形の内角の和は 180°であることから他の 1 つの鋭角の大きさも決まり、3 辺の比も決まる。ゆえに、角度に対して辺比の値を与える関数を考えることができる。

∠C を直角とする直角三角形 ABC において、それぞれの辺の長さを AB = h, BC = a, CA = b と表す(図を参照)。∠A = θ に対して三角形の辺の比 h : a : b が決まることから、

という 6 つの値が定まる。それぞれ正弦sine; サイン)、正割secant; セカント)、正接tangent; タンジェント)、余弦cosine; コサイン)、余割cosecant; コセカント)、余接cotangent; コタンジェント)と呼び、まとめて三角比と呼ばれる。ただし cosec は長いので csc と略記することも多い。ある角 ∠A に対する余弦、余割、余接はその角 ∠A余角 (co-angle) に対する正弦、正割、正接として定義される。

三角比は平面三角法に用いられ、巨大な物の大きさや遠方までの距離を計算する際の便利な道具となる。角度 θ単位は、通常またはラジアンである。

三角比、すなわち三角関数の直角三角形を用いた定義は、直角三角形の鋭角に対して定義されるため、その定義域は θ が 0° から 90° まで(0 から π/2 まで)の範囲に限られる。また、θ = 90° (= π/2) の場合 sec, tan が、θ = 0°(= 0) の場合 csc, cot がそれぞれ定義されない。これは分母となる辺の比の大きさが 0 になるためゼロ除算が発生し、その除算自体が数学的に定義されないからである。一般の角度に対する三角関数を得るためには、三角関数について成り立つ何らかの定理を指針として、定義の拡張を行う必要がある。後述する単位円による定義は初等幾何学におけるそのような拡張の例である。他に同等な方法として、正弦定理余弦定理を用いる方法などがある。

単位円による定義[編集]

単位円による、6つの三角関数が表す長さ

2 次元ユークリッド空間 R2 における単位円 {x(t)}2 + {y(t)}2 = 1 上の点を A = (x(t), y(t)) とする。反時計回りを正の向きとして、原点と円周を結ぶ線分 OAx 軸のなす角の大きさ xOA媒介変数 t として選ぶ。このとき実変数 t に対する三角関数は以下のように定義される。

これらは順に正弦関数 (sine function)余弦関数 (cosine function)正接関数(tangent function) と呼ばれる。さらにこれらの逆数として以下の 3 つの関数が定義される。

これらは順に余割関数 (cosecant function)正割関数 (secant function)余接関数 (cotangent function) と呼ばれ、sin, cos, tan と合わせて三角関数と総称される。特に csc, sec, cot割三角関数(かつさんかくかんすう)と呼ばれることがある。

この定義は 0 < t < π/2 の範囲では直角三角形による定義と一致する。

級数による定義[編集]

角度、辺の長さといった幾何学的な概念への依存を避けるため、また定義域複素数に拡張するために、級数を用いて定義することもできる。この定義は実数の範囲では単位円による定義と一致する。以下の級数は共に示される収束円内で収束する。

微分方程式による定義[編集]

実関数 f (x) の二階線型常微分方程式の初期値問題

(1)

の解として cos x を定義し、sin xd (cos x)/dx として定義できる[1][2]。 上記の式を 1 階の連立常微分方程式に書き換えると、g (x) = f '(x) として、

(2)

および初期条件 f (0) = 1, g (0) = 0 となる。

他の定義[編集]

この他にも定積分による(逆三角関数を用いた)定義や複素平面の角の回転による定義などが知られている[1][3][4][5][6][7]

歴史[編集]

バビロニア数学[編集]

一定の半径の円における中心角に対するの長さの関係は、測量天文学の要請によって古代から研究されてきた(バビロニア数学Yale Babylonian Collection、YBC 7289)。紀元前1800年頃の粘土板プリンプトン322」には、ピタゴラス数が記されていた。

古代ギリシャ・エジプト[編集]

古代ギリシャにおいて、円と球に基づく宇宙観に則った天文学研究から、ヒッパルコスにより一定の半径の円における中心角に対する弦の長さが表にまとめられたもの(正弦表、Trigonometric tables)が作られた。プトレマイオスの『アルマゲスト』にも正弦表が記載されている。

古代インド[編集]

正弦表は後にインドに伝わり、弦の長さは半分でよいという考えから5世紀頃には半弦 ardha-jiva(つまり現在の sine の意味の正弦)の長さをより精確にまとめたもの、すなわちアーリヤバタヒンディー語: आर्यभट Āryabhaṭa)によって書かれたサンスクリット語の天文学書『アーリヤバティーヤ英語版』(ヒンディー語: आर्यभटीय Āryabhaṭīya)、が作成された(Āryabhaṭa's sine table)。ardha は"半分" jiva は"弦"の意味で、当時のインドではこの半弦(現在の sine の意味の正弦)は単に jiva と略された。また、弦の長さを半分にして直角三角形を当てはめたことから派生して余角 (complementary angle) の考えが生まれ、“余角 (co-angle) の正弦 (sine)”という考えから余弦 (cosine) の考えが生まれた。余弦の値もこの頃に詳しく調べられている。(*co- は complementary の略で、補完的・補足的という意味の接頭語として用いる)

628年、ブラーマグプタヒンディー語: ब्रह्मगुप्त Brahmagupta)が当時のインド数学と天文学の成果をまとめた代表的な著書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』(ヒンディー語: ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त Brāhmasphuṭasiddhānta)を発表。

中国[編集]

中国へは代(718年頃)に瞿曇悉達によってシッダーンタ英語版[8](アーリヤバタの正弦表)が漢訳された『九執暦』が作られ、『開元占経中国語版英語版』に含まれている。

イスラム帝国[編集]

770年代にファザーリヤークブ・イブン・タリク英語版が『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』をアラビア語に翻訳した『シンドヒンド』(アラビア語: السند هندZij al-Sindhind[9])を発表し、インドの知識がイスラーム世界にもたらされた。8世紀頃イスラム帝国へ伝わったときに jaib(入り江)と変化した。

10世紀のアッバース朝時代にシリアの数学者アル・バッターニが正弦法の導入、コタンジェント表の計算、球面三角法(球面幾何学)の定理を提唱した(Astronomy in medieval IslamZij、『サービア天文表 Az-Zij as-Sabi』)。ブワイフ朝バグダードの数学者アブル・ワファータンジェントを導入した(al-Marwazi説もある)。

中世ヨーロッパ[編集]

スペインタイファ期だった12世紀から13世紀にかけて、トレド翻訳学派スペイン語版英語版の学者が活躍した。一説では12世紀に、翻訳学派のひとり、チェスターのロバートが、アル・バッターニの著書をアラビア語からラテン語に翻訳した際、正弦を sinus rectus と意訳し(sinusはラテン語で「湾」のこと)、現在の sine になったという。

中世インド[編集]

日本[編集]

日本では、江戸期に関孝和建部賢弘久留島喜内らが和算の「円理」と呼ばれる理論を発展させた。

近世ヨーロッパ[編集]

円や弦といった概念からは独立に、三角比を辺の比として角と長さの関係と捉えたのは16世紀オーストリアのゲオルク・レティクスであるといわれる。16世紀には地理学者メルカトルメルカトル図法を考案して、大航海時代に始まった地図学の発展に大きな功績を残したが、メルカトルの時代には積分法は知られていなかったので「Secant関数の積分英語版」が中心的な問題となった。 1638年ルネ・デカルトジル・ド・ロベルヴァルが出題したデカルトの正葉線の問題が微積分法の発達を促し、インドのケーララ学派やイスラム帝国から伝わっていたそれまでの微分法と積分法という別々の二つの理論体系は、1670年頃にニュートンライプニッツが独立に微積分法を発見・発明した結果、統合された。この微積分学によって、三角関数の理論は大きく発展した。17世紀後半にはアイザック・バロージェームス・グレゴリーによって独立にSecant関数の積分が解決され、緯線距離はランベルト関数(逆グーデルマン関数)に相当することが明らかになった。また、余弦を co-sine と呼んだり、sin, cos という記号が使われるようになったりしたのは 17世紀になってからであり、それが定着するのは 18世紀オイラーの頃である。一般角に対する三角関数を定義したのはオイラーである。1748年にオイラーによって、指数関数と三角関数の間に等式が成り立つことが再発見された(オイラーの公式)。フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって金属板の中での熱伝導に関する研究の中でフーリエ級数が導入され、複雑な周期函数による波動の数学的表現が単純な「正弦函数余弦函数の和」として表されるようになった(フーリエ解析)。1835年にはジェームズ・インマン英語版半正矢関数(haversine)を導入し、球面三角法での半正矢関数の公式英語版を航海用として導入した[10]

現代[編集]

アーベルヤコビによって発展させられた楕円函数論においても、円が三角関数で一意化される現象の類似物として、楕円曲線がモジュラー関数で一意化されることが発見された(「すべての楕円曲線はモジュラーである」)。これがまだ証明されていなかった時代に、この理論を応用したインド人のシュリニヴァーサ・ラマヌジャンらは、収束の早い円周率の公式を発見するなどした。それらの成果を発展させたアンドリュー・ワイルズは、フェルマーの最終定理を証明することに成功した。

三角関数の性質[編集]

周期性[編集]

正円より得られる cos θsin θ
sin xcos x のグラフ。これらの関数の周期性が確認できる。

x 軸の正の部分となす角は

と表すことができ、θ偏角t一般角と言う。

一般角 t 進めば点 P(cos t, sin t) は単位円上を1周し元の位置に戻る。従って、

すなわち三角関数 cos, sin は周期 周期関数である。

ほぼ同様に、tan, cot は周期 π の周期関数、sec, csc は周期 の周期関数である。

三角関数のグラフ: Sine(青実線)、 Cosine(緑実線)、 Tangent(赤実線)、 Cosecant(青点線)、 Secant(緑点線)、 Cotangent(赤点線

相互関係[編集]

単位円上の点の座標の関数であることから、三角関数の間には多数の相互関係が存在する。

基本相互関係[編集]

三角関数の間に成り立つ最も基本的な恒等式の 1 つとして

が挙げられる。これはピタゴラスの基本三角関数公式 (Fundamental Pythagorean trigonometric identity) と呼ばれている[11]

上記の式を変形して整理すれば、以下の式が導かれる。

負角・余角・補角公式[編集]

負角
余角
補角

加法定理[編集]

余角や補角の公式は加法定理の特別な場合として得られることに注意する。

証明[編集]

ピタゴラスの基本三角公式[編集]

三角関数および指数関数は冪級数によって定義されているものとすると、負角公式と指数法則およびオイラーの公式より

である。

負角[編集]

sin および cos については、冪級数による表示から明らかである。また

である。

加法定理[編集]

オイラーの公式

Euler's formula

と負角の公式から

を得、指数法則

を用いれば sin, cos の加法定理が得られる。これらから他の三角関数についての加法定理も得られる。

PQの線分の長さ)を求める。

また、三平方の定理から加法定理を示す方法が挙げられる。この方法では、円周上の任意の 2 点間の距離を 2 通りの座標系について求めることで、両者が等しいことから加法定理を導く。2 点間の距離を求めるのに三平方の定理を用いる。以下では単位円のみを取り扱うが、円の半径によらずこの方法から加法定理を得ることができる。

単位円の周上に 2 点 P = (cos p, sin p), Q = (cos q, sin q) を取る。P と Q を結ぶ線分の長さを PQ として、その 2 乗 PQ2 を 2 通りの方法で求めることを考える(右図も参照)。

P と Q の x 座標の差と y 座標の差から、三平方の定理を用いて PQ2 を求める。

(1)

次に Q = (cos 0, sin 0) = (1, 0) となるような座標系を取り、同様に三平方の定理から PQ2 を求める。この座標系に対する操作は、x 軸および y 軸を角度 q だけ回転させる操作に相当するので、P = (cos(pq), sin(pq)) となる。従って、

(2)

となる。

(1)(2) の右辺が互いに等しいことから、次の cos に関する加法定理が得られる。

(3)

三角関数の他の性質を利用することで、(3) から sin の加法定理なども導くことができる。

微積分[編集]

三角関数の微積分は、以下の表のとおりである。ただし、これらの結果には様々な(一見同じには見えない)表示が存在し、この表における表示はいくつかの例であることに注意されたい。

ただし、gd−1xグーデルマン関数逆関数である。

三角関数の微分では、次の極限

の成立が基本的である。このとき、sin x導関数cos x であることは加法定理から従う(が、後述のようにこれは循環論法であると指摘される)。さらに余角公式 cos x = sin (π/2x) から cos x の導関数は −sin x である。即ち、sin x微分方程式 y'' (x) + y (x) = 0特殊解である。また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。

(sin x)/xx → 0 における極限[編集]

(sin x)/xx → 0 における極限が 1 であることを証明するときに、中心角 x ラジアンの扇形の面積を2つの三角形の面積ではさんだり[12]、弧長を線分の長さではさんだりして[13][14]、いわゆるはさみうちの原理から証明する方法がある。これは一般的な日本の高校の教科書[15][16]にも載っているものであるが、循環論法であるため論理が破綻しているという主張がなされることがある[17][18]。ここで問題となるのは、証明に面積やラジアン、弧長が利用されていることである。例えば面積について言えば、面積は積分によって定義されるものであるとすると、扇形の面積を求めるには三角関数の積分が必要となる。三角関数の積分をするには三角関数の微分ができなければならないが、三角関数を微分するにはもとの極限が必要になる。このことが循環論法と呼ばれているのである。

単位円板の面積が π であることを自明な概念と考えてしまえば循環論法にはならないが、これはいくつかの決められた公理・定義から論理的演繹のみによって証明されたものだけを正しいと考える現代数学の思想とは相反するものである。循環論法を回避する方法の 1 つは、正弦関数と余弦関数を上述のような無限級数で定義するものである(これは三角関数の標準的な定義の 1 つである。また、この無限級数の収束半径は無限大である(すなわち任意の実数や複素数で収束する))。この定義に基づいて (sin x)/x → 1 (x → 0) を示すことができる。

しかしながら、このように定義された三角関数が、本来持つべき幾何学的な性質を有しているかどうかは全く明らかなことではない。これを確かめるためには、三角関数の諸公式(周期性やピタゴラスの基本三角関数公式等)を証明し、また円周率は、余弦関数の正の最小の零点(つまり、cos x = 0 となる正の最小の値)の存在を示し、その 2 倍と定義する。すると、 が区間 [0, 2π) から単位円周への(「反時計まわりの」)全単射であることを示すことができる。(連続微分可能な)曲線の長さを積分によって定義すれば、単位円周の長さが 2π であることなどがわかり、上のように定義された三角関数や円周率は、初等幾何での三角関数や円周率の素朴な定義と同じものであることが分かった[19]

無限乗積展開[編集]

三角関数は以下のように無限乗積として書ける。

部分分数展開[編集]

三角関数は以下のように部分分数に展開される。

逆三角関数[編集]

三角関数の定義域を適当に制限したものの逆関数逆三角関数(ぎゃくさんかくかんすう、: inverse trigonometric function)と呼ぶ。逆三角関数は逆関数の記法に則り、元の関数の記号に −1 を右肩に付して表す。たとえば正弦関数(ぎゃくせいげんかんすう、: inverse sine; インバース・サイン)は sin−1x などと表す。arcsin, arccos, arctan などの記法もよく用いられる。数値計算などにおいては、これらの逆関数は更に asin, acos, atan などと書き表される。

である。逆関数は逆数ではないので注意したい。逆数との混乱を避けるために、逆正弦関数 sin−1xarcsin x と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は多価関数になるので、通常は逆三角関数を一価連続なる枝に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に主値と呼ばれる枝を

のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、Sin−1x, Arcsin x のように頭文字を大文字にした表記がよく用いられる。

複素関数としての三角関数[編集]

exp z, cos z, sin z級数による定義から、オイラーの公式 exp (iz) = cos z + i sin z を導くことができる。この公式から下記の 2 つの等式

が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の指数関数を用いた表現が可能となる。即ち、

が成り立つ。この事実により、級数によらずこの等式をもって複素変数の正弦・余弦関数の定義とすることもある。また、

が成り立つ。ここで cosh z, sinh z双曲線関数を表す。この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。複素数 zz = x + iy (x, yR) と表現すると、加法定理より

が成り立つ。

他の三角関数は csc z = 1 / sin z, sec z = 1 / cos z, tan z = sin z / cos z, cot z = cos z / sin z によって定義できる。

球面三角法[編集]

球面の三角形 ABC の内角を a, b, c, 各頂点の対辺に関する球の中心角を α, β, γ とするとき、次のような関係が成立する。余弦公式や正弦余弦公式は式の対称性により各記号を入れ替えたものも成立する。

正弦公式
sin a : sin b : sin c = sin α : sin β : sin γ
余弦公式
cos a = −cos b cos c + sin b sin c cos α
余弦公式
cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos a
正弦余弦公式
sin a cos β = cos b sin c − sin b cos c cos α

脚注[編集]

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  1. ^ a b 山口, 格. “三角関数の研究 (PDF)”. 2014年10月6日閲覧。
  2. ^ 内藤, 久資 (1999年). “1999年度後期「Fourier 変換とその応用 (PDF)”. 2014年10月17日閲覧。
  3. ^ 黒田 2002, pp. 176–183.
  4. ^ 高木 2010, pp. 202–206.
  5. ^ 小平 2003, pp. 95–105.
  6. ^ 幡谷泰史; 廣澤史彦. “三角関数と円周率 (PDF)”. 2014年10月7日閲覧。
  7. ^ 瓜生, 等. “三角関数のさまざまな定義 (PDF)”. 2014年10月8日閲覧。
  8. ^ ブラーマ・スプタ・シッダーンタも参照
  9. ^ Yaʿqūb ibn Ṭāriq (يعقوب بن طارق). Zīj maḥlūl fī al‐Sindhind li‐daraja daraja (アラビア語: زيج محلول في السندهند لدرجة درجة‎, "Astronomical tables in the Sindhind resolved for each degree"). 
  10. ^ Inman, James (1835). Navigation and Nautical Astronomy for Seamen. 
  11. ^ Leff, Lawrence S. (2005). PreCalculus the Easy Way (7th ed.). Barron's Educational Series. p. 296. ISBN 0-7641-2892-2. http://books.google.com/books?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296. 
  12. ^ 面積による不等式からの証明”. 2015年1月20日閲覧。
  13. ^ 曲線の長さによる不等式からの証明 (PDF)”. p. 1. 2015年1月20日閲覧。
  14. ^ 新関章三(元高知大学),矢野 忠(元愛媛大学). “数学・物理通信 (PDF)”. 2015年1月21日閲覧。
  15. ^ 大矢雅則; 岡部恒治 ほか13名 『新編 数学Ⅲ』 数研出版株式会社2010年1月10日、改訂版、53頁。ISBN 978-4-410-80166-2NCID BA89906770OCLC 676686067
  16. ^ 飯高茂; 松本幸夫 ほか22名 『数学Ⅲ』 東京書籍株式会社2008年2月10日、49頁。ISBN 4-487-15513-4NCID BA71854010OCLC 76931848ほか
  17. ^ 川中宣明. “循環論法で証明になっていない (PDF)”. p. 1. 2015年1月18日閲覧。
  18. ^ 杉浦 1980, p. 175.
  19. ^ 三角関数、円周率、曲線の長さ等の定義の仕方は、複数の流儀がある。ここでは杉浦 (1980, pp. 175–185)に従った。

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]