ヘロンの公式

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各辺がa, b, cの三角形

ヘロンの公式(ヘロンのこうしき)は任意の三角形の3辺a, b, c の長さから面積 T を求める公式アレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられる[1]

概要[編集]

この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが、現代ではこれ自体はシラクサアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。

一般化として、円に内接する四角形の面積を辺の長さから求めるブラーマグプタの公式があり、さらには円に内接するという条件を外し、角度も用いて四角形の面積を求めるブレートシュナイダーの公式がある。ヘロンの公式はこれらの公式の特別な場合となっている。

しかし、円に内接するn角形について面積をその辺の長さから求める代数的な公式は n ≥ 5 では存在しない事が知られている。[要出典]

公式[編集]

ヘロンの公式 ― 3辺の長さが a, b, c である三角形の面積 T

ただし、

また、以下のような s を用いない表記もある。

証明[編集]

三角比余弦定理因数分解を用いた証明。

△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線の長さを h とする。

このとき△ABCの面積を T とすると、

となる。ここで、

とすると、

が得られる。

脚注[編集]

  1. ^ Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo” (Spanish). 2012年6月30日閲覧。

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]