面積

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面積
area
量記号 S, A
次元 L 2
種類 スカラー
SI単位 平方メートル (m2)
CGS単位 平方センチメートル (cm2)
FPS単位 平方フィート (ft2)
プランク単位 プランク面積 (lP2)
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面積(めんせき)とは、平面内の、あるいは曲面内の図形の大きさ、広さ、のである。立体物の表面の面積の合計を特に表面積(ひょうめんせき)と呼ぶ。

面積の単位[編集]

古いイギリスの単位[編集]

今日では以下のように定義されている。

  • 平方フィート - 0.09290304 m²
  • 平方ヤード - 9 平方フィート - 0.83612736 m²
  • 平方パーチ - 30.25 平方ヤード - 25.2928526 m²
  • エーカー - 160 平方パーチまたは 43,560 平方フィート - 4,046.8564224 m²
  • 平方マイル - 640 エーカー - 2.5899881103 km²

古い日本の単位[編集]

  • 勺(しゃく) - 0.033058 m²(体積の単位の勺とは別)
  • (ごう) - 10 勺 - 0.33058 m²(体積の単位の合とは別)
  • (つぼ)・歩(ぶ) - 10 合 - 3.30579 m²
  • (せ) - 30 坪 - 99.17355 m²
  • 段・(たん) - 10 畝 - 991.7355 m²
  • (ちょう)・町歩(ちょうぶ) - 10 段 - 9,917.355 m²
  • 尺坪(しゃくつぼ) - 0.09183 m²
  • 帖・(じょう) - 0.5 坪 - 1.6528926 m²
  • 方丈(ほうじょう) - 9.182736453 m²

その他の単位[編集]

面積を求める公式[編集]

平面[編集]

Area.svg

基本的な面積を計算する公式をいくつか示す。

  • 正方形: a2a = 一辺の長さ)
  • 長方形: aba = 縦の長さ、b = 横の長さ)
  • 菱形: 1/2aba, b は2つの対角線の長さ)
  • 台形: 1/2(B + b)hB, b は上底、下底の長さ、h = 高さ)
  • 平行四辺形: aha = 底辺の長さ、h = 高さ)
  • 平行四辺形: |A × B| = |A||B|sin θA, B は平行四辺形を張る独立ベクトル、"×" はベクトルのクロス積(外積)、"| |" はベクトルの大きさ、θABベクトルのなす角
  • 三角形: 1/2aha = 底辺の長さ、h = 高さ)、1/2absin θab = 辺の長さ、θ = 2辺のなす角の大きさ(ラジアン (rad))、ヘロンの公式
  • 頂点座標が与えられた多角形: 座標法を参照
  • : πr2π = 円周率r = 半径)
  • 扇形: 1/2r2θθ = 中心角の大きさ(ラジアン))
  • 扇形: πr2θ/360(θ = 中心角の大きさ(度))
  • 扇形: 1/2lrl = 弧の長さ (2π/360))
  • 楕円: πabab = 半長軸および半短軸の長さ)
  • 正多角形: 1/2PaP = 周辺の長さ、a = 多角形の辺心距離(中心から辺の中心までの長さ))
  • 格子多角形:ピックの定理
  • アステロイド曲線に囲まれた部分: 3/8πa(アステロイド曲線の方程式 x2/3 + y2/3 = a2/3
  • カージオイド曲線に囲まれた部分: 3/2πa(カージオイド曲線の極方程式 r = a(1 + cos θ))

立体[編集]

立体の表面積、側面積を求める公式を以下に示す。

  • 立方体の表面積: 6s2s = 一辺の長さ)
  • 直方体の表面積: 2(lw + lh + wh)(l = 縦の長さ、w = 横の長さ、h = 高さ)
  • 円柱の側面積: 2πrhr = 底面の半径、h = 高さ)
  • 斜切円柱の側面積: πr(h1 + h2)(h1 = 最大母線の長さ、h2 = 最小母線の長さ)
  • 円錐の側面積: πara = 母線の長さ、r = 底面の半径)
  • 円錐台の側面積: πa(R + r)(a = 母線の長さ、R, r = 両底面の半径、h = 高さ)
  • 円柱の表面積: 2πr(h + r)(r = 底面の半径、h = 高さ)
  • 円錐の表面積: πr(r + a)(r = 底面の半径、a = 母線の長さ)
  • の表面積: 4πr2r = 半径)

円以下の公式は、正確には積分を使って正当化される。さらに幅広い図形についてこの概念を定義するためには、積分を避けて通ることはできない。

定義不良な面積 Ill-defined areas[編集]

選択公理を受け入れると、「意味のある面積を定義できない図形」が存在することを証明できる (ルベーグ測度を参照)。 このような「図形」(簡単に図示することは出来ない)はタルスキーの円積問題 (en:Tarski's circle-squaring problem) に関係している(三次元における類似の例として、「体積の定義できない図形」とバナッハ=タルスキーのパラドックスがある)。 このような集合は現実の世界では生じない。

同面積の幾何学的検証[編集]

同じ面積の長方形同士から幾何学的操作によって生じる複数の特徴的な条件の例

例えば、面積と幅が決められている長方形の長さは計算上は面積÷幅で求まるが、 理論上、元になる長方形を与えられれば、延長線や交点などを足掛かりとして 元の長方形と同じ面積で幅が異なる長方形を描くことができる。 また、理論上、幾何学的操作により、互いに合同でない同じ面積の図形が共通する特徴を持つことを表せる場合がある。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

面積の単位
m2 a ha km2 ac mi2 ムー
m2 m2 = 0.01 a m2 = 0.0001 ha m2 = 0.000001 km2 m2 ≒ 0.000247105 ac m2 ≒ 3.86102 × 10−7 mi2 m2 = 0.3025 坪 m2 ≒ 0.0100833 畝 m2 ≒ 0.000100833 町 m2 =

0.0015 ムー

a a = 100 m2 a = 0.01 ha a = 0.0001 km2 a ≒ 0.0247105 ac a ≒ 3.86102 × 10−5 mi2 a ≒ 30.25 坪 a ≒ 1.00833 畝 a ≒ 0.0100833 町 a = 0.15 ムー
ha ha = 10000 m2 ha = 100 a ha = 0.01 km2 ha ≒ 2.47105 ac ha ≒ 0.00386102 mi2 ha ≒ 3025 坪 ha ≒ 100.833 畝 ha ≒ 1.00833 町 ha = 15 ムー
km2 km2 = 1000000 m2 km2 = 10000 a km2 = 100 ha km2 ≒ 247.105 ac km2 ≒ 0.386102 mi2 km2 ≒ 302500 坪 km2 ≒ 10083.3 畝 km2 ≒ 100.833 町 km2 = 1500 ムー
ac ac ≒ 4046.8564224 m2 ac ≒ 40.468564224 a ac ≒ 0.40468564224 ha ac ≒ 0.004046856422 km2 ac = 0.0015625 mi2 ac ≒ 1224.17坪 ac ≒ 40.8058 畝 ac ≒ 0.408058 町 ac ≒ 6.070285 ムー
mi2 mi2 ≒ 2589988.110336 m2 mi2 ≒ 25899.88110336 a mi2 ≒ 258.9988110336 ha mi2 ≒ 2.589988110336 km2 mi2 = 640 ac mi2 ≒ 783471 坪 mi2 ≒ 26115.71345 畝 mi2 ≒ 261.1571345 町 mi2 ≒ 3884.982 ムー
坪 ≒ 3.305785 m2 坪 ≒ 0.0330579 a 坪 ≒ 0.000330579 ha 坪 ≒ 3.305785 × 10−6 km2 坪 ≒ 0.000816877 ac 坪 ≒ 1.27637 × 10−6 mi2 坪 ≒ 0.0333333 畝 坪 ≒ 0.000333333 町 坪 ≒ 0.004959 ムー
畝 ≒ 99.1736 m2 畝 ≒ 0.991736 a 畝 ≒ 0.00991736 ha 畝 ≒ 9.91736 × 10−5 km2 畝 ≒ 0.0245063 ac 畝 ≒ 3.829110 × 10−5 mi2 畝 = 30 坪 畝 = 0.01 町 畝 = 0.14876 ムー
町 ≒ 9917.36 m2 町 ≒ 99.1736 a 町 ≒ 0.991736 ha 町 ≒ 0.00991736 km2 町 ≒ 2.45063 ac 町 ≒ 0.00382911 mi2 町 = 3000 坪 町 = 100 畝 町 = 14.87604 ムー
ムー ムー ≒ 666.667 m2 ムー ≒ 6.66667 a ムー ≒ 0.06667 ha ムー ≒ 0.0006667 km2 ムー ≒ 0.164737 ac ムー ≒ 0.00257 mi2 ムー ≒ 201.6667 坪 ムー ≒ 6.722219 畝 ムー ≒ 0.06722219 町