公式

数学において公式（こうしき）とは、数式で表される定理のことである。転じて比喩的に「問題を簡単に解決することができる魔法のようなもの」というような意味で用いられることがある。同様な意味で「方程式」という言葉が用いられることも多い。

例

数学

• 展開・因数分解公式:

  (a + b)² = a² + 2ab + b²

  (a + b)(a − b) = a² − b²

  aⁿ − 1 = (a − 1)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻² + … + a + 1)

  $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}(=\sum _{k=0}^{n}{}_{n}{\text{C}}_{k}a^{n-k}b^{k})$

• 二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解の公式:

  $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

• ピタゴラスの定理:

  c² = a² + b²

  a, b, c は直角三角形の三辺の長さ。ただし c を斜辺とする。

  この定理から三角関数における次の等式も導かれる。

  cos² θ + sin² θ = 1

• ヘロンの公式

  $S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

  a, b, c は三角形の三辺の長さ。この三角形の面積を S とする。

  ここで、s は半周長で、次式で定義される。

  $s={\frac {a+b+c}{2}}$

• 複素解析におけるオイラーの公式: e^iθ = cos θ + i sin θ
• スターリングの公式

  $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}.$

  ただし、n は自然数で、n! は n の階乗を表す。

• 三角関数の加法定理（加法公式）

  $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

  $\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

  $\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

  $\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

  $\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

  $\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

• 余弦定理

  △ABC で a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA とするとき、

  a² = b² + c² − 2bc cos α

  b² = c² + a² − 2ca cos β

  c² = a² + b² − 2ab cos γ

• ベクトル解析におけるストークスの定理

  $\iint _{S}\mathrm {rot} \,{\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {n}}dS=\oint _{\partial S}{\boldsymbol {A}}\cdot d{\boldsymbol {s}}$

物理学

物理法則を表した基礎方程式が広く知られる。

• ニュートンの運動方程式

  $m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {F}}$

• マクスウェルの方程式

  ガウスの法則 $\mathrm {div} \,{\boldsymbol {D}}=\rho$

  ガウスの法則 $\mathrm {div} \,{\boldsymbol {B}}=0$

  ファラデーの法則 $\mathrm {rot} \,{\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}$

  アンペールの法則 $\mathrm {rot} \,{\boldsymbol {H}}=j+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}$

道具としての公式

公式は定理であるから、一度その式が成り立つことを（場合によっては変数に制限を加えて）証明すれば、次に同じ問題に遭遇したときには式に現れる変数に、その状況に応じた値を代入するだけで答えが求まるため、計算や考察の手間を省くことができる。

しかし、公式を適用できる場面でなければ公式は使用できず、公式が適用可能かどうかはその公式の証明の内容が握っている。

暗記学習

初等教育においては、公式を知っていれば直ちに解答を得るような問題に、基礎演習として触れる機会が少なくない。

そのため、「数学とは公式の暗記である」と捉えてしまうものが少なからず存在する。しかし、このような捉え方をしてしまうと、丸暗記のみに専念することで、柔軟な発想ができなくなる、公式を知らないから解けないと投げ出してしまう、などのデメリットがあるとされる。

公式集

有用な公式を多数集めた公式集と呼ばれる本が市販されている。そのような本に載っている公式の数は膨大であり、かつそれぞれの形も複雑である。

参考文献

小林幹雄他編 『共立全書138 数学公式集』 共立出版、1970

関連項目

• 数学
• 定理
• 定石