マクスウェルの方程式

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電磁気学
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マクスウェルの方程式(マクスウェルのほうていしき、: Maxwell's equations)は、電磁場を記述する古典電磁気学基礎方程式である。マイケル・ファラデーが幾何学的考察から見出した電磁力に関する法則が1864年ジェームズ・クラーク・マクスウェルによって数学的形式として整理された[1]マクスウェル-ヘルツの電磁方程式電磁方程式などとも呼ばれる。マクスウェルはマックスウェルとも表記され、マクスウェル方程式マックスウェル方程式などと書かれることも多い。

真空中の電磁気学に限れば、マクスウェルの方程式の一般解は、ジェフィメンコ方程式として与えられる。

なお電磁気学の単位系国際単位系に発展したMKSA単位系のほかガウス単位系などがあり、単位系によってマクスウェルの方程式の表式における係数が異なるが、以下では原則として国際単位系を用いることとする。

4つの方程式[編集]

(微分形による)マクスウェルの方程式は、以下の4つの連立偏微分方程式である。

ここで E電場の強度B磁束密度D電束密度H磁場の強度を表す。 また、ρ電荷密度j電流密度を表す。 [注 1]

記号「∇·」、「∇×」はそれぞれベクトル場の発散 (div)回転 (rot) である。

次に、4つの個々の方程式(成分表示で8つの式、テンソル表示で2つの式)について説明する。

磁束保存の式[編集]

(微分形の磁束保存の式)

積分形で表すと次の式になる。

ここで B磁束密度(単位はテスラ T )、dS は、領域の外側へ向かう方向と直交する閉じた曲面 S 上の微小な領域[要校閲] である。

構造的に見て磁力線閉曲線でなければならないことを意味する。この式は電場の積分形と同様に、閉曲面上を積分したときにのみ意味がある。

これらの式は、磁気単極子(モノポール)が存在しないことを前提としており、もし磁気単極子が発見されたならば、上の式は次のように変更されなければならない。

ここで ρm は磁気単極子の磁荷密度である。

ファラデー-マクスウェルの式[編集]

(微分形のファラデー-マクスウェルの式)

この式を積分形で表すと次の式になる。[疑問点]

ただし、

ここで、(向きのついた)閉曲線を CC を縁とする曲面を S として、 φB は曲面 S を通過する磁束、V は経路 C に沿った(誘導)起電力である。

ファラデー-マクスウェルの式の積分形で時間微分を積分の外に置く場合、経路 C と曲面 S は時間変化しないものとする。 一方、「ファラデーの電磁誘導の法則」は導線が動くケースにも適用されることがある。 [注 2]

なお、式中の負号があるため、磁束密度の時間微分の向きと電場の「渦」の向きの関係は「左ねじ」になる。

マクスウェル-ガウスの式[編集]

(微分形のマクスウェル-ガウスの式: D-H対応[疑問点]

ここで、ρ は、電荷密度(単位は C/m3)。D電束密度(単位は C/m2)で、「線形な物質中」では D = εE の関係がある(E は電場の強度、ε誘電率)。電場が非常に強くない限り、どんな物質も「線形」なものとして扱うことができる[疑問点]。上の式は、電束は電荷の存在するところで発生・消滅し、それ以外のところでは保存されることを意味している。真空の誘電率ε0 と書かれ、次の式で表される[要校閲] [疑問点]

(微分形のマクスウェル-ガウスの式: E-B対応

また、εr = ε/ε0 で定義される比誘電率などが用いられることもある。

マクスウェル-ガウスの式を積分形で表すと次の式になる。

ここで dS は、電荷の外側へ向かう方向と直交する閉じた曲面 S 上の微小な領域[要校閲] であり、Qencl は閉曲面 S で囲まれた領域内の電荷である。この積分形は、閉曲面上を積分したときにのみ意味があり、ガウスの法則としてよく知られている。

アンペール-マクスウェルの式[編集]

(微分形のアンペール-マクスウェルの式: D-H対応[疑問点]

ここで j電流密度H磁場の強度(単位は A/m)で、「線形な物質中」で「磁場の強度が小さい範囲」において、B = μH の関係がある(B磁束密度μ透磁率)。

真空中では透磁率 μ真空の透磁率 μ0 = 4π×10−7 W/Am で置き換えられる。したがって式は次のようになる。

積分形は次のようになる。

L は曲面 S の縁となる閉曲線で、Ithrough は曲線 L で囲まれた曲面 S を通過する電流 Ithrough S = ∫S j · dS である。コンデンサ∇ · j ≠ 0 となるほかの場所がなければ、右辺の第 2 項(変位電流)は一般に無視される。[疑問点]

それぞれの式の解釈[編集]

磁束保存の式
磁力線はどこかを起点とすることも終点とすることもできない、すなわち磁気単極子(モノポール)が存在しないことを示している。磁場のガウスの法則
ファラデー-マクスウェルの式
磁場の時間変化があるところには電場が生じることを示している。導線の動きがない場合のファラデーの電磁誘導の法則に相当する。
ガウス-マクスウェルの式
電場の発生源は電荷であることを示している。電場のガウスの法則
アンペール-マクスウェルの式
電流変位電流により磁場が生じることを示している。
この式は、電流によって磁場が生じるというアンペールの法則変位電流を加えたものである。

歴史的経緯[編集]

マクスウェルの方程式は、次の2つの組に分類されることが多い。

電磁場の拘束条件[編集]

第1の組は、

(1a)
(1b)

である。この式は電磁場の拘束条件を与える式である(ビアンキ恒等式)。

この式は E, B電磁ポテンシャル により、

(0a)
(0b)

と表せば恒等的に満たすように出来る。

マクスウェル自身の原著論文『電磁場の動力学的理論』(1865年)や原著教科書『電気磁気論』(1873年)では上記のように表されていたが、1890年になってヘルツが改めて理論構成を考察し、上記2式から電磁ポテンシャルを消去し(1a), (1b) を基本方程式とすることを要請した。このヘルツによる電磁ポテンシャルを消去した形をマクスウェルの方程式と見なすのが現在の主流となっている。この見かたでは (0a)(0b) は電磁場の定義式と見なされる。

電磁場の運動方程式[編集]

第2の組は、

(2a)
(2b)

である。電荷、電流の分布が電磁場の源となっていることを表す式である(電磁場の運動方程式)。

電磁場の微分(左辺)が電荷、電流の分布(右辺)によって書かれており、電荷、電流の分布を与えると電磁場の形が分かる方程式になっている。

この式から、電荷、電流の分布には電気量保存則(連続の方程式

が成り立つことが導かれる。

また、電磁場はローレンツ力

により電荷、電流の分布を変動させる。

それぞれの組は時間微分を片側に移し、

と変形すれば、時間発展の方程式とその初期条件と見ることができる。

また、E, B により記述した場合は式の組み合わせを変えて

として、ベクトル場の発散と回転を与える式と見ることができる。

これらの方程式系に整理されたことから、電場と磁場の統一(電磁場)、電磁波であることなどが導かれ、その時空論としての特殊相対性理論に至る。後年、アインシュタインは特殊相対性理論の起源はマクスウェルの電磁場方程式である旨を明言している。

マクスウェルが導出した方程式はベクトルの各成分をあたかも互いに独立な量であるかのように別々の文字で表して書かれており、現代の洗練された形式ではなかった。これを1884年ヘヴィサイドベクトル解析の記法を適用して現在の見やすい形に書き改めた。しかも彼は既にそこで電磁ポテンシャルが消去出来ることを示して、方程式系を今日我々が知る形に整理していた。しかし、その意義は直ちには認められるに至らず、それとは独立に上記のヘルツの仕事がなされた。

ベクトル記法が一般化し始めるのは 1890年代半ばであって、ヘルツの論文ではまだそれを使っていない。いずれにせよ、このベクトル解析の記法の採用はにおける様々な対称性を一目で見ることを可能にし、物理現象の理解に大いに役立った[2]

E-B による表示[編集]

電束密度 D と磁場の強度 H は、電磁場の媒質中での振舞いを表現する量である。媒質の性質を他の部分で表現することにより、電場の強度 E と磁束密度 B により方程式を記述することが出来る。

真空中[編集]

媒質が存在しない真空中(自由空間中)においては、D, H はそれぞれ E, B

の関係にある。ここで ε0真空の誘電率μ0真空の透磁率であり、これらは普遍定数である。このとき方程式は

となって E, B により記述される。

これらの式は、(1a),(1b) と合わせて「真空中のマクスウェル方程式」とも呼ばれるが、「物質があると適用できない」ということではない(§一般の媒質中 で後述)。このことは、一見すると次節にあるような「媒質中のマクスウェル方程式」と食い違うように見えるが、ρ, j, D, H の定義の違い、何を電荷・電流(ρ, j)として扱うかの違いであり、その読み替えを行えば矛盾しない。

等方一様線型媒質中[編集]

線型媒質中においては、D, H は線型関係

によって E, B と関係付けられる。ここで ε, μ はそれぞれその媒質の誘電率透磁率であり、媒質の性質を特徴付ける物性値である。これらは一般にはテンソルであるが、等方的な媒質ではスカラーとなる。さらに一様な媒質であると考えれば、マクスウェルの方程式は

と変形できて E, B により記述される。

媒質中のマクスウェル方程式における電荷密度・電流密度は、 これまでは単に ρ, j と表記していたが、ここでは説明の都合上、ρ′, j′ と表記する。

一般の媒質中[編集]

一般の媒質中においては、D, HE, B を関係付ける量として、誘電分極 P磁化 M

によって導入される。このとき、方程式は

となる。さらに分極電荷密度、分極電流密度、磁化電流密度を

として導入すれば、方程式は以下のように書ける。

これは、ρ0, j0 を(場の源となる)電荷密度 ρ・電流密度 j と見なすならば、真空中のマクスウェル方程式と同じ形をしている。 媒質は微視的に見れば原子核や電子などの荷電粒子から構成されていると考えられるが、 これらの粒子に起因する電荷・電流も ρ, j に含めて扱うことにすれば、 物質があっても「真空中のマクスウェル方程式」が適用できる、と解釈できる。

ローレンツゲージでのマクスウェルの方程式[編集]

以下のローレンツ条件

における電磁ポテンシャル(ベクトルポテンシャル とスカラーポテンシャル )を用いて、マクスウェル方程式[注 3]は以下の2組の方程式として表すことができる。

いずれの式も左辺は線形演算子のダランベルシアン□が作用しており、右辺は片やスカラー値の、片やベクトル値の連続関数である。ベクトルについては各々の成分について適用して考えることでスカラーの場合と同様に考えることができる。線形微分方程式に対してはグリーン関数法を考えることで解くことができる。すなわち、

の解となる関数(グリーン関数)を求めることで一般に

なる方程式に対して

として求めることができる。このときのグリーン関数は先進グリーン関数と遅延グリーン関数の2つを得るが、物理的に意味のある遅延グリーン関数を採用することで遅延ポテンシャルを得ることができる。

遅延ポテンシャルを元に電場や磁場を計算するのが一般に運動している物体についての電磁場を検討する際に楽な方法であり、結果としてジェフィメンコ方程式を得ることになる。

電磁波の波動方程式[編集]

マクスウェルの方程式から、電磁波の伝搬についての記述を得ることができる[3]真空または電荷分布がない絶縁体では、電場と磁場が次の波動方程式

を満たすことがマクスウェル方程式から示される。これは電磁場が媒質中を速さ

で伝搬する波動であることを意味する。媒質の屈折率

を導入すれば、

とも表される。

ここで、真空の誘電率真空の透磁率の各値から導かれる定数 c の値が光速度の値とほとんど一致する[4]ことから、マクスウェルはは電磁波ではないかという予測を行った。その予測は1888年ハインリヒ・ヘルツによって実証された。ヘルツはマクスウェルの方程式の研究に貢献したので、マクスウェルの方程式はマクスウェル-ヘルツの(電磁)方程式と呼ばれることもある。

マクスウェルの方程式と特殊相対性理論[編集]

19世紀後半を通じて物理学者の大半は、マクスウェルの方程式において光速度が全ての観測者に対して不変になるという予測と、ニュートン力学の運動法則がガリレイ変換に対して不変を保つことが矛盾することから、これらの方程式は電磁場の近似的なものに過ぎないと考えた。しかし、1905年にアインシュタインが特殊相対性理論を提出したことによって、マクスウェルの方程式が正確で、ニュートン力学の方を修正すべきだったことが明確になった。これらの電磁場の方程式は、特殊相対性理論と密接な関係にあり、ローレンツ変換に対する不変性(共変性)を満たす。磁場の方程式は、光速度に比べて小さい速度では、相対論的変換による電場の方程式の変形に結び付けられる。

電場と磁場による表現では、共変性が見にくいため、4元ポテンシャル Aμ を考える。

但し、重複するギリシャ文字に対してはアインシュタインの縮約記法に従って和をとるものとし、計量テンソルημν = diag(1, −1, −1, −1) で与えるものとする。また、各ギリシャ文字は 0,1,2,3 の値を取り、0は時間成分、1,2,3は空間成分を表すものとする。特に時空の座標については (x0, x1, x2, x3) = (ct, x, y, z) である。

電磁ポテンシャルから構成される電磁場テンソル

0a,0bに対応)

を導入する。電場、磁場との対応関係は

となる。

このとき、マクスウェル方程式[注 3]はローレンツ変換に対しての共変性が明確な形式で、次のような2つの方程式にまとめられる。

1a,1bに対応)

2a,2bに対応)

但し、jμ4元電流密度

である。このとき、電荷の保存則は

(3に対応)

と表される。なお、4元ポテンシャルで表現すると、マクスウェル方程式は次の一つの方程式にまとめられる。

ここで、□はダランベルシアンである。

微分形式による表現[編集]

マクスウェルの方程式は多様体理論における微分形式によって簡明に表現することができる[5]

まず電磁ポテンシャル Aμ により、1次微分形式

を導入する。これに外微分を作用させることで2次微分形式

が定義される。 さらに F のホッジ双対として 2次微分形式

が定義される。

4元電流密度により1次微分形式

を導入し、これのホッジ双対により3次微分形式

を定義すれば、外微分の作用により運動方程式(2a,2b)に対応して

となる。

外微分の性質 ddξ=0 から(1a,1b)に対応する

と、連続の方程式に対応する

が得られる。

脚注[編集]

[脚注の使い方]

注釈[編集]

  1. ^ 後述のように、物質がある場合に何を ρ, j として扱うかには複数の選択肢があり、またそれに連動して D, H の定義も変わる。
  2. ^ 導線が動く場合の誘導起電力は電場を周回積分したものとは異なると考えることになる。
  3. ^ a b 真空中のマクスウェル方程式

出典[編集]

  1. ^ Maxwell (1865)
  2. ^ 広重 (1968, §10.6-8)
  3. ^ Jackson (2002, 第7章)
  4. ^ C・ロヴェッリ『すごい物理学講義』河出文庫、2019年、P.78。
  5. ^ Flanders (1989, §4.6)

参考文献[編集]

原論文[編集]

書籍[編集]

  • Lorentz, H.A.『ローレンツ 電子論』広重徹、1973年。
  • 広重, 徹『物理学史II』培風館〈新物理学シリーズ〉、1968年3月。全国書誌番号:68001733ISBN 978-4563024062NCID BN00957321OCLC 673599647ASIN 4563024066
  • Landau, L.D.Lifshitz, E.M.『場の古典論:電気力学, 特殊および一般相対性理論』恒藤敏彦, 広重徹訳、東京図書〈ランダウ=リフシッツ理論物理学教程〉、1978年10月、原書第6版。全国書誌番号:79000237ISBN 978-4489011610NCID BN00890297OCLC 841897028ASIN 448901161X
  • 砂川, 重信『理論電磁気学』紀伊國屋書店、1999年9月、第3版。全国書誌番号:99125994ISBN 978-4314008549NCID BA43015728OCLC 675159672ASIN 4314008547
  • Jackson, J.D.『電磁気学』上巻、西田稔訳、吉岡書店〈物理学叢書〉、2002年7月、原書第3版。全国書誌番号:20301816ISBN 978-4842703053NCID BA57742913OCLC 123038116ASIN 4842703059
  • Flanders, Harley (1989). Differential Forms with Applications to the Physical Sciences. Dover Publications. ISBN 0486661695 

関連項目[編集]

外部リンク[編集]