数学

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数学(すうがく、 :Mathematics)とは、図形などに関する学問である[1]。数学は形式科学に分類され、自然科学とは区別される。

語源[編集]

現代の日本語における「数学」は、直接的には英語の mathematics の訳語ないし同義語と見なせる。英語の mathematics ないしその単数形 mathematic の直接の語源は、古フランス語 mathematique であり、これはラテン語の (ars) mathematica、またギリシア語μαθηματικὴ (τέχνη) に由来し、原義は「学ぶこと」である[2]

mathematics の訳語として「数学(數學)」を用いている例として、東京数学会社(現、日本数学会)訳語会による訳語[3]が挙げられる。それ以前にも「数学」という語は使われていたが、mathematics の定訳ではなかった。例えば1814年の『諳厄利亜語林大成』では「数学」は arithmetic[注 1] の訳語に用いられ[注 2][4]mathematics[注 3] には「測度數之学」が当てられている[5]

定義と対象[編集]

数学の範囲定義については、数学者哲学者の間で様々な見解がある[6][7]

数学の最も普通の定義としては、「および図形についての学問」というものがある[8]。また冒頭では「数・量・図形などに関する」とする、百科事典に掲載されている、研究対象によって数学を定義する定義文を紹介した。なお「など」という言葉によってどのような要素が省略されているか、他にどのようなことを研究するか、というところまで説明を補うと、[9]構造[10]空間[9]変化[11][12][13]など、さまざまなものが続々と出てくる。

19世紀のヨーロッパで集合論が提起されてからは、「数学とは何か」ということが問い直されるようになっており(数学基礎論)、数学の対象・方法文化史的な価値などについて研究する数理哲学まで生まれている。したがって、現代的な意味では数学はもはや「数および図形についての学問」といった単純な定義で済ませておくことはできない状態にある[8]

歴史[編集]

数学の起源は人類が農耕を始めたこととの関連が大きい」とも。農作物の分配管理や商取引のための計算、農地管理のための測量、そして農作業の時期を知る法のための天文現象の周期性の解明などである。これら三つの必要性は、そのまま数学の大きな三つの区分、構造・空間・変化のそれぞれの研究に大体対応しているといえよう。この時点では、例えば土木工事などの経験から辺の比が 3 : 4 : 5である三角形が直角三角形になることは知られていても、一般に直角三角形の辺の長さの比が c2 = a2 + b2c, b, a は辺の長さ)になること(ピタゴラスの定理)は知られていなかった。数学が独立した学問でなく純粋な実用数学であった時代には、あたかも自然科学におけるデータのようにこれらの関係を扱い、例を多数挙げることで正しさを主張するといった手法でもさして問題視されなかった。しかし数は無限に存在するため、沢山の数を調べても完全に証明することはできない。数学が一つの学問として研究されるようになって以降は、論理を用いて真偽を判定する「数学的証明」が発達した。現代の数学でも数学的証明は非常に重視されている。

各国での歴史

分類・分野[編集]

現代における純粋数学の研究は主に代数学幾何学解析学の三分野に大別される。また、これらの数学を記述するのに必要な道具を与える論理を研究する学問を数学基礎論という。

基礎付け
数学の基礎を明確にすること、あるいは数学そのものを研究することのために、集合論数理論理学そしてモデル理論は発展してきた。フランスの数学者グループであるニコラ・ブルバキは、集合論による数学の基礎付けを行い、その巨大な体系を『数学原論』として著した。彼らのスタイルはブルバキ主義とよばれ、現代数学の発展に大きな影響をあたえた。個々の対象の持つ性質を中心とする研究方法である集合論とは別の体系として、対象同士の関係性が作るシステムに主眼を置くことにより対象を研究する方法として圏と関手の理論がある。これはシステムという具体性からコンピュータネットワークなどに応用される一方で、極めて高い抽象性を持つ議論を経て極めて具体的な結果を得るようなアブストラクト・ナンセンスなどと呼ばれる形式性も持ち合わせている。
構造
関数図形の中のなどの数学的対象の間に成り立つさまざまな関係を形式化・公理化して調べるという立場がダフィット・ヒルベルトやニコラ・ブルバキによって追求された。数の大小関係や演算、点の近さ遠さなどの関係がそれぞれ順序構造の構造、位相構造などの概念として公理化され、その帰結が研究される。特に、様々な代数的構造の性質を研究する抽象代数学は20世紀に大きく発展した。現代数学で取り扱われる構造は上のような基本的な構造にとどまらず、異なった種類の構造を併せて考える位相線型空間双曲群などさまざまなものがある。
空間
空間の研究は幾何学と共に始まる。初めは、それは身近な三次元におけるユークリッド幾何学三角法であるが、後にはやはり、一般相対性理論で中心的な役割を演ずる非ユークリッド幾何学に一般化される。長い間未解決だった定規とコンパスによる作図の問題は、最終的にガロア理論によって決着が付いた。現代的な分野である微分幾何学代数幾何学は幾何学を異なる方向に発展させた:微分幾何学では、座標系や滑らかさ、それに向きの概念が強調されるが、一方で代数幾何学では、代数方程式の解となるような集合を幾何学的な対象とする。集合は数学の基礎を成す重要な概念であるが、幾何学的な側面を強調する場合、集合を空間と言い、その集合の元を点と呼ぶ。群論では対称性という概念を抽象的に研究し、空間と代数構造の研究の間に関連を与える。位相幾何学連続という概念に着目することで、空間と変化の双方の研究に関係する。
解析
測る量についての変化を理解し、記述することは自然科学の共通の主題であり、微積分学はまさにそのための最も有用な道具として発展してきた。変化する量を記述するのに使われる中心的な道具は関数である。多くの問題は、とても自然に量とその変化の割合との関係になり、そのような問題を解くための手法は微分方程式の分野で研究される。連続的な量を表すのに使われる数が実数であり、実数の性質や実数に値をとる関数の性質の詳しい研究は実解析として知られる。いくつかの理由から、複素数に拡張する方が便利であり、それは複素解析において研究される。関数解析学関数空間(関数の集合に位相構造を持たせたもの)が興味の中心であり、この分野は量子力学やその他多くの学問の基盤となっている。自然の多くの現象は力学系によって記述され、カオス理論では、多くの系が決定可能であるにもかかわらず予測不可能な現れ方をする、という事実を扱う。
計算機
人類がコンピュータを最初に思いついたとき(それは実際に作られるより遥かに前のことだが)、いくつかの重要な理論的概念は数学者によってかたち作られ、計算可能性理論計算複雑性理論情報理論、そしてアルゴリズム情報理論の分野に発展した。これらの問題の内の多くは計算機科学において研究されている。離散数学は計算機科学において有用な数学の分野の総称である。数値解析は、丸め誤差を考慮に入れて、幅広い数学の問題について効率的にコンピュータの上で数値解を求める方法を研究する。また1950年代から2000年代[14]にかけて、計算機科学を駆使して自然科学上の問題を解決する計算科学が急速に発展した。
統計
応用数学において、重要な分野に統計学が挙げられる。統計学はランダムな現象の記述や解析や予測を可能にし、全ての科学において、利用されている。

以下の分野や項目の一覧は、数学に対する一つの有機的な見方を反映している。

便宜上の分類

自然数整数偶数奇数小数分数素数有理数無理数実数虚数複素数四元数八元数十六元数超実数順序数基数濃度p進数巨大数整数列数学定数数の名称無限
変化
算術微積分学ベクトル解析解析学微分方程式力学系カオス理論関数一覧
構造
抽象代数学数論代数幾何学群論モノイド解析学位相幾何学線型代数学グラフ理論圏論
空間
解析幾何学位相幾何学幾何学三角法代数幾何学微分幾何学線型代数学フラクタル幾何図形図形の一覧ベクトル解析
有限数学
組合せ論素朴集合論確率論統計学計算理論離散数学暗号法暗号理論グラフ理論
数理科学
計算科学数値解析確率論逆問題数理物理学数理経済学ゲーム理論[15]数理生物学数理心理学保険数理数理工学
有名な定理と予想
フェルマーの最終定理リーマン予想連続体仮説P≠NP予想ゴールドバッハの予想双子素数の予想ゲーデルの不完全性定理ポアンカレ予想カントールの対角線論法ピタゴラスの定理中心極限定理微積分学の基本定理代数学の基本定理四色定理ツォルンの補題オイラーの等式コラッツの予想合同数の問題バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想ヒルベルトの23の問題スメイルの問題ソファ問題
基礎と方法
数理哲学直観主義数学的構成主義数学基礎論集合論数理論理学モデル理論圏論数学的証明数学記号の表逆数学

数学の応用[編集]

自然科学[編集]

ヴィンチェンツォ・ガリレイは音楽(音程学・音響学)の研究に数学的手法を導入し、その息子ガリレオ・ガリレイは、父の影響を受け、物体の運動の研究(物理学)に数学的手法を導入し、物理学に大きな変革をもたらした。以後、(アイザック・ニュートンの『自然哲学の数学的諸原理』でも、「数学的原理」としており、書物名、タイトルにも顕著にあらわれているが)数学の発展と物理学の発展は密接な関係にある。 このほかの自然科学においても数学的な手法は基礎的な要素となっている。

数理モデル[編集]

数理モデルは数理モデルは理想化されており、往々にして実際との間には「ずれ」が生じる、という問題はあるが、それでも、そうした分野の研究に、俯瞰的な視点を与え、研究に大きな進歩や高い次元からの洞察をもたらすこともある。

工学の他、社会学や言語学など幅広い分野に応用されている。

思考力の養成[編集]

数学教育により抽象的な考えを養うことができるとされ、他分野への恩恵があるという[16]

学会・会議[編集]

数学教育[編集]

世界各国[編集]

ウクライナでは幼少期から数学教育に力を入れた結果、IT開発能力が高まったとされる[16]

日本[編集]

初等教育では「算数」、中等教育では「数学」と表記されている。

学習する分野は、10年ごとに文部科学省から学習指導要領告示され、その基準に基づいて決定される。

また文部科学省は、学習指導要領本文とは別に詳細な事項を記載した学習指導要領解説(「解説」)を発行している。「解説」は学習指導要領本文とは異なり法的拘束力はないとされ、教科用図書検定規則などには「解説」に沿わなければならないという規定はない。しかし、学習指導要領解説で提示された公式のみが教科書に実際に記述されているなど、教科用図書検定の際には強い影響力を持っており、事実上拘束力がある[要出典]

数学に関する賞[編集]

※「ノーベル数学賞」というものは存在しない。数学に関する賞としては(一般に)フィールズ賞が最高峰とされている。

競技[編集]

脚注[編集]

[脚注の使い方]

注釈[編集]

  1. ^ 諳厄利亜語林大成』における読み仮名は「アリトメテイーク」。
  2. ^ 諳厄利亜語林大成』では「算術數学」の意とされている。
  3. ^ 諳厄利亜語林大成』では mathematicks と綴られている。また読み仮名として「マテイマテイツキ」が当てられている。

出典[編集]

  1. ^ ニッポニカ「数学」
  2. ^ "Definition of mathematics". lexico.com. Oxford University Press. 21 June 2022. 2022年6月21日閲覧
  3. ^ 東京數學會社雑誌 第51号 1882, pp. 3–8.
  4. ^ 諳厄利亜語林大成 巻之一 1814, p. 62.
  5. ^ 諳厄利亜語林大成 巻之七 1814, p. 50.
  6. ^ Mura, Roberta (Dec 1993). “Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences”. Educational Studies in Mathematics 25 (4): 375–385. 
  7. ^ Tobies, Renate and Helmut Neunzert (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer. pp. 9. ISBN 3-0348-0229-3. "It is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form." 
  8. ^ a b ブリタニカ【数学】
  9. ^ a b mathematics, n. : Oxford English Dictionary”. 2015年6月17日閲覧。 “The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.”[リンク切れ]
  10. ^ Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. pp. 4. ISBN 0-486-41712-3. "Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness." 
  11. ^ LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. pp. 2. ISBN 1-4390-4957-2. "Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change." 
  12. ^ Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. p. 2.10. ISBN 0-07-066753-5. "The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus." 
  13. ^ Ziegler, Günter M. (2011). “What Is Mathematics?”. An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. pp. 7. ISBN 3-642-19532-6 
  14. ^ 第1回「科学技術の第3の柱『計算科学』」(岩崎洋一 氏 / 筑波大学学長)” (日本語). Science Portal - 科学技術の最新情報サイト「サイエンスポータル」. 2022年2月16日閲覧。
  15. ^ 神取道宏「追悼 ジョン・ナッシュ : 数学者、そして数理科学者として」『経済セミナー』、日本評論社、[要ページ番号]頁、2015年。 
  16. ^ a b 創業手帳編集部. “駐日ウクライナ大使 セルギー・コルスンスキー/伊藤羊一|IT大国ウクライナの強さと現状【前編】” (日本語). 起業・創業・資金調達の創業手帳. 2022年5月25日閲覧。

参考文献[編集]

  • 佐藤, 泰夫、佐藤, 純 『数学とは何だろう—文化としての数学』森北出版、1998年。 
  • 川崎, 薩男 『数学の序説』共立出版、1980年。ISBN 978-4-320-01293-6 
  • 本木, 正栄、楢林, 高美、吉雄, 永保 『諳厄利亜語林大成』 巻之一、1814年、76頁。 
  • 本木, 正栄、楢林, 高美、吉雄, 永保 『諳厄利亜語林大成』 巻之七、1814年、80頁。 
  • 東京數學會社「東京數學會社雑誌」第51号、東京数学会社、1882年、 doi:10.11429/sugakukaisya1877.1882.51_3
  • "Definition of mathematics". lexico.com. Oxford University Press. 21 June 2022. 2022年6月21日閲覧

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

  • Encyclopedia of Mathematics(英語) - 数学に関する約8,000項目の解説が掲載されている。Springer社とヨーロッパ数学会が提供するデータベース
  • zbMATH Open(英語) - 文献名、著者名、掲載誌名、数式などから検索できる、ヨーロッパ数学会、カールスルーエ学術情報センター、ハイデルベルク学士院が提供するデータベース
  • 数学』 - コトバンク