階乗

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自然数 n階乗(かいじょう、: factorial)を、エクスクラメーションマークを用いて n! と表す。階乗とは、1 から n までの自然数の総乗であり、定義は

n!=n\times(n-1)\times\cdots\times3\times2\times1=\prod_{k=1}^n k

である。例えば、6! = 6・5・4・3・2・1 = 720 である。"n!"は「nの階乗」と読まれる。

また、0! = 1 と約束する。これは、(n − 1)! = n! / n であるから、0! = 1!/1 = 1 と考えられるため、あるいは、n! が異なる n 個のものを並べる順列の総数 nPn に一致し、0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがあると考えられるため、などと解釈できる。

順列では、互いに異なる n 個のものから n 個全部または n − 1 個を選んで一列に並べる方法は n! 通りあり、互いに異なる n 個のものから n 個全部を選んで円環状に並べる方法は (n − 1)! 通りある。

この"n!"という表記は1808年Christian Krampによって発明された[1]

定義[編集]

上の定義と同値なものとして、次のようなものがある。

 n! = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 0, \\
(n-1)!\times n & \text{if } n > 0
\end{cases}
 n! = D^nx^n \, \, \;n\geq0

階乗数[編集]

ある非負整数の階乗である自然数を階乗数という。

0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5 040
8! 40 320
9! 362 880
10! 3 628 800
11! 39 916 800
12! 479 001 600
13! 6 227 020 800
14! 87 178 291 200
15! 1 307 674 368 000
16! 20 922 789 888 000
17! 355 687 428 096 000
18! 6 402 373 705 728 000
19! 121 645 100 408 832 000
20! 2 432 902 008 176 640 000

また階乗数の逆数総和

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} =2.71828182845904523536028747\cdots =e

となり自然対数の底 e に等しい。

ブロカールの問題[編集]

ブロカールの問題とは、

n!+1 = m^2

を満たすn、mは存在するか、という問題である。現在、これを満たす(n, m)の組[* 1]

(4,5), (5,11), (7,71)

しか見つかっていない。ABC予想が真であれば、解は有限個しかないことが、Marius Overholtにより示されている。

スターリングの近似公式[編集]

大きな数の階乗はスターリングの公式によって近似することができる。

n!\approx \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n} =\sqrt{2\pi} n^{n+\frac{1}{2}} e^{-n} \qquad (n\gg 0)

例えば、

20! = 2432902008176640000 \approx2.432902\times10^{18}
20! \approx \sqrt{2\pi}20^{20+\frac{1}{2}}e^{-20}\approx2.422787\times10^{18}

である。

拡張[編集]

Γ関数[編集]

Γ関数のグラフ

階乗は、自然数を変数とする写像と考えることができるが、この定義域実数に拡張したものにガンマ関数

\Gamma (z)=\lim_{n\to\infty} \frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n (z+k)}

がある。定義域を正の実数に制限すれば、これは自然数 n に対し、\Gamma  (n+1) = n! を満たす実数値連続関数である。ガンマ関数はさらに負の整数を除く複素数の範囲にまで拡張される。

これを使って、非負整数以外の階乗を定義できる。例えば、

\left( -\frac{1}{2} \right) !=\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) =\sqrt{\pi}

なので、n! = n × (n − 1)! より、半整数に対する階乗は

\left( n+\frac{1}{2} \right) !=\sqrt{\pi} \times \prod_{k=0}^n \frac{2k+1}{2}

であり、よって 3.5! は、

3.5!=\sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{105\sqrt{\pi}}{16}\approx 11.63

となる。なお、n > 1 ならば n! < (n + 1/2)! < (n + 1)! である。

(n − 1)! = n! / n より、負数の階乗も考えられる。ただし負の整数の階乗は(0 での除算になるため)定義できない。

多重指数への拡張[編集]

多重指数\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)に対し階乗は、

\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!

と定義できる。これは例えば、多変数関数の展開に使われる。

デデキント環への拡張[編集]

マンジュル・バルガヴァは階乗を一般のデデキント環上で定義し、いくつかの古典的な問題を解決するために用いた[2]。それらの階乗は整数ではなく、イデアルとなる。

二重階乗[編集]

二重階乗double factorial)は、自然数 n に対し、n が奇数なら 1 から n までの奇数の総乗、n が偶数なら 2 から n までの偶数の総乗のことである。またnが負の奇数にも拡張される。これを n!! と書き、逆正弦関数 Arcsin xテイラー展開などに用いられる。なお、名前から階乗を繰り返したものと捉えられやすいが、そうではない。

(2n)!!=(2n)(2n-2)\cdots(2)=2^n n!
(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)\cdots(1)=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!}
(-(2n+1))!! = \frac{(-1)^n}{(2n-1)!!}

また、複素数値への拡張として、以下が知られている[3]

z!!={2}^{[1+2z-\cos(\pi z)]/4}{\pi}^{ [\cos (\pi z)-1 ]/4}\Gamma (1+\frac{1}{2} z)

二重階乗の例

(-9)!!=\frac{1}{105}
(-7)!!=-\frac{1}{15}
(-5)!!=\frac{1}{3}
(-3)!!=-1
(-1)!!=1
0!!=1
1!!=1
2!!=2
3!!=3
4!!=8
5!!=15
6!!=48
7!!=105
8!!=384
9!!=945
10!!=3840
11!!=10395
12!!=46080
13!!=135135
14!!=645120
15!!=2027025
16!!=10321920
17!!=34459425
18!!=185794560
19!!=654729075
20!!=3715891200

多重階乗[編集]

多重階乗(multifactorial)は、階乗の拡張である。普通の階乗、二重階乗を含む。あまり使用されないが、三重階乗n!!! または n!3 で表し、四重階乗n!!!! または n!4 で表す。一般のm重階乗n!m で表す。n < m のとき、n!m = n である。

  n!m=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<m;
   \\
    n(n-k)!m,&&\mbox{if }n\ge m.\quad\ \ \,
   \end{matrix}
  \right.

階乗冪[編集]

自然数 x の階乗は 1 から x までの数の乗積であるが、x から 1 に向かって x 個の数の積でもある。これを一般化して、x 個ではなく n 個の数の積としたもの、いわば不完全な階乗が考えられる。それを普通の階乗と区別するために階乗冪 (factorial power) という。階乗冪には下降階乗冪 (falling factorial) と上昇階乗冪 (rising factorial) とがある。

下降階乗冪は x から負の向きにn個の数の乗積である。読みは、「x の下降乗」である。

\begin{align}
&x^{\underline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)=\frac{x!}{(x-n)!}\\
&n!=n^{\underline{n}}\\
&{x}^{\underline{0}}=1\ \ \     (x\neq 0)\\
\end{align}

ただし0^{\underline{0}}は定義されない。

上昇階乗冪は x から正の向きに n 個の数の乗積である。読みは、「x の上昇乗」である。

\begin{align}
&x^{\overline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}\\
&n!=1^{\overline{n}}\\
&{x}^{\overline{0}}=1\ \ \      (x\neq 0)\\
\end{align}

ただし0^{\overline{0}}は定義されない。

とても抽象的であるが、感覚的な説明としてはx段の階段をn段下りる(又は上る)、その分だけ乗するとも言える。また、記号が通常の冪乗{x}^{n}に類似しているのは、下降階乗冪、上昇階乗冪が通常の冪乗に良く似た性質をもつためである。

定義から階乗冪はすべての複素数に対しても定義できる。その場合、階乗による表記はガンマ関数を用いて書き直す必要がある。

具体的には次のようになる[* 2][* 3]

x^{\underline{n}}=\frac{\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}
=(-1)^{n}\,\frac{\Gamma (-x+n)}{\Gamma (-x)}

x^{\overline{n}}=\frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}
=(-1)^{n}\,\frac{\Gamma (-x+1)}{\Gamma (-x-n+1)}

特に上記二式の右辺の式は x が負の整数の場合に特に有効[* 4]である。

上記の式から、下降階乗冪と上昇階乗冪の間に次の関係が成り立つことが分かる。

x^{\underline{n}} =(-1)^n  (-x)^{\overline{n}}
x^{\overline{n}} =(-1)^n \, (-x)^{\underline{n}}

通常の冪との関係と類似[編集]

下降階乗冪、上昇階乗冪と通常の冪には、非常に多くの類似点がある。

下降階乗冪と通常の冪には次の関係がある。

 x^{\underline{n}} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n+k}\left[ {n\atop k}\right]\,x^k
 x^{n} = \sum_{k=0}^{n} \left\{{n\atop k}\right\}\,x^{\underline{k}}

ただし、 \biggl[{n\atop k}\biggl]は第一種スターリング数\left\{{n\atop k}\right\}は第二種スターリング数である。

また、上昇階乗冪と通常の冪には次の関係がある。

 x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^{n} \left[{n\atop k}\right]\,x^k
 x^n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\left\{{n\atop k}\right\}\,x^{\overline{k}}

指数法則に似た次の法則が下降階乗冪、上昇階乗冪に成り立つ。

{x}^{\underline{m+n}}={x}^{\underline{m}}{(x-m)}^{\underline{n}}
{x}^{\overline{m+n}}={x}^{\overline{m}}{(x+m)}^{\overline{n}}

これを用いて、負数の下降階乗冪、上昇階乗冪を定義することもできる。

また、2数の和の下降階乗冪、上昇階乗冪それぞれに対し、二項定理に似た次の公式が成り立つ。上昇階乗冪に対するものは、ファンデルモンドの定理と呼ばれる。

{(a+b)}^{\underline{n}}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}{a}^{\underline{n}}\,\, {b}^{\underline{n-k}}
{(a+b)}^{\overline{n}}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}{a}^{\overline{n}}\,\, {b}^{\overline{n-k}}


下降階乗冪の前進差分英語版不定和分[* 5]は次のようになる。

\Delta x^{\underline{n}}=nx^{\underline{n-1}}
{\Delta }^{-1}x^{\underline{n}}= \frac{x^{\underline{n+1}}}{n+1}+C,\ \ \     (n\neq -1)

ただし、Cは和分定数である。

上昇階乗冪の後退差分 と、後退差分の逆としての不定和分は次のようになる。

\Delta x^{\overline{n}}=nx^{\overline{n-1}}
{\nabla}^{-1}x^{\overline{n}}= \frac{x^{\overline{n+1}}}{n+1}+C,\ \ \     (n\neq -1)

同じく、Cは和分定数である。 これらは、通常の冪関数の微分D x^n=n{x}^{n-1}、通常の冪関数の不定積分\int {x}^{n}dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C(ただしCは積分定数)と良く似た形である。このことから、下降階乗冪、上昇階乗冪は通常の冪の離散版英語版であると捉えることもできる。

任意の無限回差分可能な関数は、下降階乗冪を用いて次のような無限和に表せる。これは非常にテーラー展開に類似している。

 f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Delta^k [f](a)}{k!} ~{(x-a)}^{\underline{k}}= \sum_{k=0}^\infty {x-a \choose k}~ \Delta^k[f](a)

ただし、\Delta^k [f] は、fのk階差分である。

ポッホハマー記号[編集]

ポッホハマー記号 (Pochhammer symbol) は上昇階乗冪を表す記号である[* 6]

(x)_n=x^{\overline{n}} =\prod_{k=0}^{n-1} (x+k)

ただし、下降階乗冪を (x)_n で表し、上昇階乗冪を (x)^{(n)} で表している文献もある[4]

和の公式[編集]

上昇階乗冪とその逆数は、和の公式が次のような形で書くことができる。双方の公式とも、畳み込み級数となることを利用すれば導出できる。


\begin{align}& \sum_{k=1}^n k^{\overline{m}} = \frac{n^{\overline{m+1}}}{m+1},\\
& \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^{\overline{m+1}}} = \frac{1}{m}\left(\frac{1}{m!} - \frac{1}{(n+1)^{\overline{m}}}\right).
\end{align}

素数階乗[編集]

素数階乗factorial prime)とは、番号記号#を用いて、n#と書かれる自然数の関数である。定義は、

n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\#

となる。つまりは、2以上n以下の素数の総乗である。これは、素数が無限に存在するという命題の証明に用いられることがある。

ピックオーバー超階乗[編集]

Clifford Pickover 版の超階乗superfactorial)は、階乗を入れ子に拡張したものである。ドル記号$を用いて書かれる。

n\$={}^{n!}n! = \underbrace{n!^{n!^{\scriptstyle n!^{{\textstyle\,\cdot}^{{\textstyle\,\cdot}^{{\textstyle\,\cdot\,}^{\scriptstyle n!}}}}}}}_{n!}

nが3以上になると、非常に大きい値になる。

これとは異なる種類の超階乗 (superfactorial) の定義がある(次節参照)。

スーパー階乗[編集]

ニール・スローンサイモン・プラウフは、スーパー階乗superfactorial)をThe Encyclopedia of Integer Sequences (N.J.A. Sloane 1995) の中で定義した。例として、4のスーパー階乗は次のようになる。

 \mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288. \,

一般的にスーパー階乗は下の式で定義される。


  \mathrm{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

次のような定義もある。


  \mathrm{sf}(n)
  =\prod_{0 \le i < j \le n} (j-i)

最初のいくつかの値は、次のようになる[5]

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ……

スーパー階乗は、複素数値にも拡張できる。その結果はバーンズのG関数英語版と呼ばれる。定義は次のようになる。

 G(z+1)=(2\pi)^{z/2} \text{exp}\left(- \frac{z+z^2(1+\gamma)}{2} \right) \, \prod_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(1+\frac{z}{k}\right)^k \text{exp}\left(\frac{z^2}{2k}-z\right) \right\}

自然数に対しては、以下が成り立っている。

G(n+2)= \mathrm{sf}(n)=\begin{cases} 0&\text{if }n=-1,-2,\dots\\ \prod_{i=0}^{n} i!&\text{if }n=0,1,2,\dots\end{cases}

ハイパー階乗[編集]

ハイパー階乗hyperfactorial)は、以下で定義される。

  H(n)= \prod_{k=1}^n k^k= 1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n

これはとても大きくなっていく。最初のいくつかの値はつぎの通りである[6]

1, 4, 108, 27648, 86400000, ……

ハイパー階乗は定義域を複素数にまで拡張できる。それはK函数英語版と呼ばれ、以下で定義される。

K(z)=(2\pi)^{(-z+1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right].

自然数nに対し、次が成り立つ。

K(n+1)=1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots n^n.

Exponential factorial[編集]

exponential factorial [* 7] は、以下で定義される。階乗の記号であるエクスクラメーションマークを自然数の右肩に置いて書かれる。

n^! = \begin{cases}
1 & (n = 0)\\
n^{{(n-1)}^!} & (n > 0) 
\end{cases}

つまり、自然数nに対して

n^! = n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}

となる。最初の5つの値は次のようになる[8]

1, 1, 2, 9, 262144, ……

nが5以上になると、exponential factorialの値は非常に大きくなる。 全ての自然数のexponential factorialの逆数の総和は、

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^!} =1.611114925808376736\underbrace{11\cdots11}_{183213}272243\cdots

となる。この数は、超越数であり、リウヴィル数である[9]

また、高次exponential factorialが定義される。例として、二次exponential factorialは、

n^{!!} = n^{{!}^{2}} = {n^{{!}{(n-1)^{{!}{{(n-2)}^{{!}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!}{2^{{!}{1^!}}}}}}}}}}}}}}

となる。なお、エクスクラメーションマークが2つ重なっているが、階乗における二重階乗とは似ていないことに注意が必要。 高次exponential factorialは、

n^{{!}^{m}} = n^{{{!}^{(m-1)}{(n-1)}^{!^{m}}}} = {n^{{!^{(m-1)}}{(n-1)^{{!^{(m-1)}}{{(n-2)}^{{!^{(m1)}}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!^{(m-1)}}{2^{{!^{(m-1)}}{1^{!^{(m-1)}}}}}}}}}}}}}}}}

となる。ただし、n,mは自然数である。

脚注[編集]

注釈[編集]

  1. ^ このような(n, m)を、ブラウン数 (: Brown numbers) と呼ぶ。
  2. ^ 右辺は反射公式による。
  3. ^ x = 0 の場合、階乗冪は当然 0 であるがガンマ関数による表記は x = 0 の場合もカバーしている。また、x < n のときの自然数 x に対する下降階乗冪、および −x < n のときの負の整数 x に対する上昇階乗冪も 0 になるが、それもカバーしている。
  4. ^ ガンマ関数は 0 および負の整数で極を持つため、中辺の式では定義できない。
  5. ^ 通常は大文字のシグマを用いる。
  6. ^ ただしポッホハマー自身はこれを二項係数を表すため用いた。
  7. ^ 中国語: 阶幂(階冪)、指数階乗[7]

出典[編集]

  1. ^ Higgins, Peter (2008), Number Story: From Counting to Cryptography, New York: Copernicus, p. 12, ISBN 978-1-84800-000-1  says Krempe though.
  2. ^ The Factorial Function and Generalizations
  3. ^ Wolfram Mathworld: Double Factorial
  4. ^ Wolfram Mathworld: Pochhammer Symbol
  5. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A000178
  6. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A002109
  7. ^ 巨大数研究 Wiki 指数階乗
  8. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A049384
  9. ^ Wolfram Mathworld: Exponential Factorial

参考文献[編集]

  • ドナルド・E・クヌース、ロナルド・L・グレアム・オーレン・パタシュニク 『コンピュータの数学』 有澤誠・ほか訳、共立出版、1993年8月。ISBN 4-320-02668-3。 - 原タイトル:Concrete mathematics.
  • Keith B. Oldham他 『関数事典(CD-ROM付)』 河村哲也監訳、朝倉書店、2013年12月、ISBN 978-4-254-11136-1

関連項目[編集]

外部リンク[編集]