巨大数

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巨大数(きょだいすう、large numbers)とは、日常生活において使用される数よりも巨大な実数)のことである。非常に巨大な数は、数学天文学宇宙論暗号理論インターネットコンピュータなどの分野でしばしば登場する。天文学的数字(てんもんがくてきすうじ)と呼ばれることもある。

主にインターネット上で、巨大数やその定義、およびそれを支える理論等を研究する数学のコミュニティがあり、その理論は巨大数論(きょだいすうろん、googology、グーゴロジー)と呼ばれる。

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身近な事物にまつわる数字の中で特に大きいものを挙げる。

天文学の巨大数[編集]

億や兆を大きく超えた数字のことを「天文学的」と形容するように、宇宙および天文学に関連する話題では巨大数が登場することが多い。

以下の数値は数があまりにも巨大であるため、単位をどのように取っても無視できる範囲で近似する。

組合せ論の巨大数[編集]

組合せ数学において、組合せの場合の数などは急激に大きくなる数で、組合せ爆発といった語もある。

  • 16 × 16マスに区切られた格子状の道路を、同じ交差点を2度通らずに左上から右下まで向かう道順の数 - 約6.87 × 1061通り[4][5]
  • トランプ52枚を一列に並べる並べ方 - 52! ≈8.066 × 1067通り
  • グラハム数

組合せ関数は、統計力学で扱われる巨大数を生成するために使われることがある。統計力学の分野で使用される数は、一般に対数を用いて表される。[要検証]

歴史[編集]

19世紀以前で見られる巨大な数への言及は例えば以下のようなものがある:

1976年にドナルド・クヌースは、「巨大な数量をどれほど上手く取り扱えるか」ということを論じる「Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness」という記事[6]を発表し、この本文中でクヌースの矢印表記を提案した。翌77年にはこの矢印表記を用いて、マーティン・ガードナーが自身の連載「数学ゲーム」でグラハム数を紹介しており、以降もレオ・スタインハウスジョン・ホートン・コンウェイといった人々が巨大数にまつわる記事を執筆している。

インターネットにおける巨大数の活動としては、1996年にロバート・ムナフォが『Large Numbers』というページを開設している[7][8]。以来、アマチュアの(しばしばプロの)数学者たちによるコミュニティが活動を続けており、この”学問”はグーゴルにちなんでグーゴロジー(googology)と呼ばれる[8]

巨大数の表記法[編集]

科学技術分野において大きな数量を表す際には指数表記が使われるが、非常に巨大な数(例えばスキューズ数)はもはや指数で表記しても巨大な数量となってしまい、二重指数関数やそれ以上の関数を用いた表記が必要となる。巨大数の表現が可能である表記法には、例えば以下のようなものがある:

  • クヌースの矢印表記は、指数の積み重なりである指数タワーを記述するための、非常に単純な表記法である。
  • ハイパー演算子は、加法の繰り返しで乗法、乗法の繰り返しで冪乗を作ることを発展し、新たな演算を作っていくものであり、本質的にはクヌースの矢印表記の別表記である。
  • コンウェイのチェーン表記は、クヌースの矢印表記の「矢印の増加」そのものの繰り返し、『「矢印の増加」に繰り返しを入れること』の繰り返しなどを表現できるようにし、さらに巨大な数を表せるようにしたものである。
  • スタインハウス・モーザーの多角形表記は、巨大数を示すために多角形を使用している。
  • 超階乗階乗を拡張したものである。
  • アッカーマン関数は、どのような原始再帰関数よりも早く増大する帰納的関数の例である。すなわち、どのような原始再帰関数であっても、その引数が十分大きいならば、アッカーマン関数の方が値が大きくなる。
  • 配列表記はコンウェイのチェーン表記およびその拡張表記よりも効率的に数の大きさを爆発させることができるようにした記法であり、アッカーマン関数の拡張である多変数アッカーマン関数と同程度の増加速度である。
  • BEAFは配列表記の拡張の最終形態の一つである。
  • 急成長階層は、順序数でパラメータ付けられた自然数関数の階層であり、最初のω層の合併が原始再帰関数のクラスに一致することと、より大きい順序数で添え字づけられた関数は小さいものを最終的に支配する(eventually majorize)という性質を持つために巨大数およびそれを生み出す関数の大小評価に用いられる。


脚注[編集]

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注釈[編集]

出典[編集]

  1. ^ RFC 1321
  2. ^ ZIMBABWE: Inflation at 6.5 quindecillion novemdecillion percent 2009年1月21日、Forbes ASIA、2019年1月26日閲覧
  3. ^ "Susskind's Challenge to the Hartle-Hawking No-Boundary Proposal and Possible Resolutions"
  4. ^ 「フカシギの数え方」 同じところを2度通らない道順の数”. 2021年3月24日閲覧。
  5. ^ A007764 - OEIS”. The OEIS Foundation Inc.. 2021年3月24日閲覧。
  6. ^ Knuth, Donald E. (1976-12-17). “Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness” (英語). Science 194 (4271): 1235–1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235. ISSN 0036-8075. PMID 17797067. https://science.sciencemag.org/content/194/4271/1235. 
  7. ^ https://mrob.com/pub/math/largenum.html
  8. ^ a b フィッシュ「巨大数論発展の軌跡」『現代思想』、青土社、2019年12月1日、 19-28頁、 ISBN 978-4-7917-1389-9

関連項目[編集]

外部リンク[編集]