BEAF

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BEAF (Bowers Exploding Array Function) とは、Jonathan Bowersによって考案された、巨大数を表すための表記法の一つである[1]

クヌースの矢印表記[編集]

まず、BEAFの元になった、クヌースの矢印表記について記す。詳細はクヌースの矢印表記を参照。

指数表記[編集]

乗算は、加算の反復によって定義できる。

同様に、冪乗は、乗算の反復によって定義できる。

ドナルド・クヌースは、冪乗を上向き矢印「↑」を使って次のように表した。

拡張[編集]

クヌースは、二本の上向き矢印を、冪乗の繰り返しを表す演算子として再帰的に定義した。

ここで、である。これを、テトレーション、またはその見た目からタワー表記とも呼ぶ。同様に、三本の上向き矢印も次のように定義できる。

ここで、である。さらに、n本の上向き矢印に対して再帰的に定義すると、次のようになる。

ここで、a, b, n は整数であり、a ≥ 1, b ≥ 0, n ≥ 1である。ただし、は、n本のを意味する。

計算例[編集]

このように、矢印の本数を増やすと、値が爆発的に増加することがわかる。これにより、非常に大きな自然数を表現する事が可能である。

注意点[編集]

からもわかるように、複数の演算子が並んでいるときは、右から順に計算していく。すなわち、

であって、

ではない。

括弧を使った演算子表記[編集]

Jonathan Bowersは、まず矢印表記を一般化した、括弧を使った演算子表記を開発した。


例えば、である。この表記法は、単に矢印表記を書き換えたに過ぎないが、Bowersは{}を1重から2重に増やすことで、更に拡張した。

ここで、bは一番内側から外側までのaの個数である。Bowersはこれを、aのb重膨張と呼んだ。

{{}}の中を増やしていくと、次のようになる。

{}を二重から三重にすると、aのb重爆発となる。

{}を四重にすると爆轟、五重にするとペントネーションと続く。また、

と書いて圧縮することができる。すなわち、

である。

線形配列表記[編集]

と書き換えることが可能である。

出典[編集]

  1. ^ フィッシュ 『巨大数論 第2版』 インプレス R&D、東京、2017年ISBN 9784802093194

関連項目[編集]