多角形表記

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多角形表記(たかくけいひょうき、polygon notation)とは、多角形を用いた巨大数の表記法である。ユゴー・スタインハウス英語版によって考案され、後にレオ・モーザー英語版によって拡張された。

スタインハウスの多角形表記[編集]

スタインハウスの多角形表記は、次のように定義される。

  • 三角形の中にn = nn
  • 四角形の中にn = 「n 重の三角形の中の n
  • 円の中にn = 「n 重の四角形の中の n

この表記を用いて、スタインハウスは次の数を定義した。

  • 円の中に2メガ (mega) という。
  • 円の中に10メジストン (megiston) という。

したがって、この 円の中に2+1はフェルマー数の1つである。

モーザーの多角形表記[編集]

モーザーの多角形表記は、スタインハウスのものを拡張し、一般の多角形を用いるようにした。

  • 三角形の中にn四角形の中にnはスタインハウスのものと同じ。
  • 五角形の中にn = 「n 重の四角形の中の n 」 (= 円の中にn )
  • 一般に「m 角形の中の n 」 = 「n 重の m - 1 角形の中の n

円の中に2角形の中の2」 をモーザー数と言う。

ブラケットでの表記[編集]

ヨーク大学のSusan Stepney教授は、自らのサイトで次の代用表記を使っている。

  • p 角形の中の nn[p]\, と表す。
  • [\ldots] は必要なだけ繰り返せる。たとえば、p 角形の中の q 角形の中の nn[q][p]\, と表す。
  • k 重の p 角形の中の nn[p]_k\, と表す。つまり、
n[p]_k = n \underbrace{ [p][p]...[p] }_k
である。

これを使えば多角形表記の定義は次のようになる。

  • 三角形の中にn = n[3] = nn
  • 四角形の中にn = n[4] = n[3]n
  • 五角形の中にn = 円の中にn = n[5] = n[4]n
  • 一般に n[m] = n[m−1]n

他の例としては:

  • 4重の三角形の中にn = n[3]4

スタインハウスとモーザーが定義した巨大数は次のように表せる。

  • 円の中に2(メガ) = 2[5]
  • 円の中に10(メジストン) = 10[5]
  • モーザー数 = 2[2[5]]

計算[編集]

簡単な例[編集]

  • 2[3] = 22 = 4
  • 2[4] = 2[3]2 = 4[3] = 44 = 256

スタインハウスのメガ[編集]

円の中に2 = 2[5]

= 2[4]2
= 2[4][4]
= 256[4]
= 256[3]256

256[3]nを順に見ていくと、

256[3]=256^{256}
256[3]_2=256[3][3]= \left( 256^{256} \right) ^{256^{256}}=256^{256\times 256^{256}}= 256^{256^{257}} = (256 \uparrow) ^2 257

ここで、↑はクヌースの矢印表記である。

256[3]_3=256[3]_2[3]= \left( 256^{256^{257}} \right) ^{256^{256^{257}}}
=256^{ 256^{257}\times 256^{256^{257}} }=256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left(256 \uparrow \right) ^2 \left( 257 + 256^{257} \right)

となる。ここで、きわめて大雑把な「近似

256[3]_3= 256^{256^{257 + 256^{257}}} \fallingdotseq 256^{256^{256^{257}}} = \left(256 \uparrow \right) ^3 257

を導入する。しかし近似といっても実際は

 256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256 ^ {257}} \gg  256^{256^{256^{257}}}

であり、通常の感覚ではまったくかけ離れていることに注意。

同様に、

256[3]_4 \fallingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}} = (256 \uparrow) ^4 257
256[3]_5 \fallingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}} = (256 \uparrow) ^5 257

と「近似」できる。したがって、

円の中に2 = 256[3]256 ≒ (256↑)256 257

である。

さらに大雑把な「近似」を認めれば、

円の中に2 ≒ 256↑↑257

と表せる。ただし実際は、

円の中に2 ≫ (256↑)256 257 ≫ 256↑↑257

である。

具体的な値は

円の中に2 ≒(10↑)255(1.99×10619)

に近く、したがって

10↑↑257 < 円の中に2 < 10↑↑258

の範囲にある。

スタインハウスのメジストン[編集]

円の中に10 = 10[5] = 10[4]10

スタインハウスのメガの時と似た「近似」によって、およそ

a[4]\fallingdotseq a\uparrow\uparrow \left(a+1 \right)
a[4]\fallingdotseq a\uparrow\uparrow \left(a+1\right) \fallingdotseq a\uparrow\uparrow a \quad \text{ when } \ a \gg 1 (*)

であるとすると、

10[4] \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow 11
10[4]_2 = 10[4][4] \fallingdotseq \left(10\uparrow\uparrow 11\right)\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11\right)

ここで、一般の a, b, n について次のような式を考える。ab = ab に注意すれば、


\begin{align}
\left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n & = \left(a\uparrow\uparrow b\right)\uparrow \left\{\left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1\right) \right\} \\
& = \left[a\uparrow \left\{ a\uparrow \left(b-1\right) \right\} \right]\uparrow \left\{ \left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1\right) \right\} \\
& = a\uparrow \left[ \left\{ a\uparrow \left(b-1\right) \right\} + \left(a\uparrow\uparrow b\right) \uparrow\uparrow \left(n-1\right) \right] \\
\end{align}

a, b が十分に大きければ

a\uparrow \left(b-1 \right) \ll \left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1 \right)

だから、

 \left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n \fallingdotseq a\uparrow \left\{ \left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1 \right) \right\}

と近似してよい。

これを n が 1 になるまで繰り返せば、


\begin{align}
\left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n &\fallingdotseq \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{ \left(n-1\right) \text{ copies of } a }
\uparrow \left \{ \left(a\uparrow\uparrow b\right) \uparrow\uparrow 1 \right \} \\
&= \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{\left(n-1\right) \text{ copies of } a } \uparrow \left(a\uparrow\uparrow b \right) \\
&\fallingdotseq a\uparrow\uparrow \left \{ \left(n-1\right) + b \right \}
\end{align}

したがって、nb ならば

 \left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n \fallingdotseq a\uparrow\uparrow n (**)

と近似してよい。

(**) を用いて、改めて 10[4]2 を近似すると

10[4]_2 \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right)

である。以下同様に (*) と (**) を使えば

\begin{align}
10[4]_3 = 10[4]_2[4] &\fallingdotseq \left \{ 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right) \right\}
\uparrow\uparrow \left\{ 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right) \right\} \\
&\fallingdotseq 10\uparrow\uparrow \left\{ 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right) \right\} \\
&= 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 \\
&= \left(10 \uparrow\uparrow \right)^3 11\end{align}
10[4]_4 = 10[4]_3[4] \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11= \left(10 \uparrow\uparrow \right)^4 11
10[4]_5 = 10[4]_4[4] \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = \left(10 \uparrow\uparrow \right)^5 11

したがって、

10[4]_{10} \fallingdotseq 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow
10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow
10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 11= \left(10 \uparrow\uparrow \right)^{10} 11

であるので、大ざっぱには

円の中に10 ≒ 10↑↑↑11

である。ただし、実際はメガと同様に、

円の中に10 ≫ (10↑↑)10 11 ≫ 10↑↑↑11

である。

モーザー数[編集]

モーザー数は 2[円の中に2] = 2[2[5]] である。先に示したように 円の中に2 は相当な巨大数であるので、円の中に2 角形はほとんど円も同然であり、忠実な多角形の図による表記は事実上不可能である。

モーザー数が 円の中に2 よりはるかに大きいことは自明で、また 円の中に10 よりもはるかに大きい。

しかし、グラハム数よりは圧倒的に小さいことが Tim Chow によって1998年に証明された[1]。この証明によれば、モーザー数 Mチェーン表記を用いて

 M < 3 \rightarrow 3 \rightarrow (\left(3 \rightarrow 3 \rightarrow 5\right)\times 2 - 1)

つまり矢印表記を用いて

 M < 3 \uparrow^{ \left (3 \uparrow^5 3 \right )\times 2 - 1 }3= 3 \uparrow^{ \left (3 \uparrow^4 3 \uparrow^4 3 \right )\times 2 - 1 }3

である。

モーザー数をクヌースの矢印表記で厳密に表すのは事実上不可能であるが、およそ 3↑↑↑…(②−2本)…↑↑↑3 に近似すると考えられる。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

  1. ^ [1]