多角形表記

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多角形表記(たかくけいひょうき、polygon notation)とは、多角形を用いた巨大数の表記法である。ユゴー・スタインハウス英語版によって考案され、後にレオ・モーザー英語版によって拡張された。

スタインハウスの多角形表記[編集]

スタインハウスの多角形表記は、次のように定義される。

  • 三角形の中にn = nn
  • 四角形の中にn = 「n 重の三角形の中の n
  • 円の中にn = 「n 重の四角形の中の n

この表記を用いて、スタインハウスは次の数を定義した。

  • 円の中に2メガ(Mega)という。
  • 円の中に10メジストン(Megiston)という。

したがって、この 円の中に2+1はフェルマー数の1つである。

モーザーの多角形表記[編集]

モーザーの多角形表記は、スタインハウスのものを拡張し、一般の多角形を用いるようにした。

  • 三角形の中にn四角形の中にnはスタインハウスのものと同じ。
  • 五角形の中にn = 「n 重の四角形の中の n 」 (= 円の中にn )
  • 一般に「m 角形の中の n 」 = 「n 重の m - 1 角形の中の n

円の中に2角形の中の2」 をモーザー数と言う。

ブラケットでの表記[編集]

ヨーク大学のSusan Stepney教授は、自らのサイトで次の代用表記を使っている。

  • p 角形の中の nn[p]\, と表す。
  • [\ldots] は必要なだけ繰り返せる。たとえば、p 角形の中の q 角形の中の nn[q][p]\, と表す。
  • k 重の p 角形の中の nn[p]_k\, と表す。つまり、n[p]_k = n \underbrace{[p][p]\ldots[p]}_k である。

これを使えば多角形表記の定義は次のようになる。

  • 三角形の中にn = n[3] = n^n=\underbrace{n \times n \times \ldots \times n}_n =n\uparrow\uparrow 2 =n \rightarrow2 \rightarrow2 \,
  • 四角形の中にn = n[4] = n[3]_n=(( \cdots((n \underbrace {\uparrow \uparrow2) \uparrow \uparrow2 ) \cdots ) \uparrow \uparrow2 ) \uparrow \uparrow2 }_{n}= (( \cdots((n \underbrace {\rightarrow 2\rightarrow2) \rightarrow 2\rightarrow 2 ) \cdots ) \rightarrow 2\rightarrow2 ) \rightarrow 2\rightarrow2 }_{n} \,
  • 五角形の中にn =\, 円の中にn  = n[5] = n[4]_n \,
  • 一般に n[m] = n[m-1]_n = n \underbrace{[m-1][m-1]\ldots[m-1]}_n \,

ここで、↑と→はそれぞれクヌースの矢印表記コンウェイのチェーン表記である。

他の例としては:

  • 4重の三角形の中にn  = n[3]_4

スタインハウスとモーザーが定義した巨大数は次のように表せる。

  • 円の中に2(メガ) = 2[5]
  • 円の中に10(メジストン) = 10[5]
  • モーザー数 = 2[2[5]]

計算[編集]

簡単な例[編集]

  • 2[3] = 22 = 4
  • 2[4] = 2[3]2 = 4[3] = 44 = 256

スタインハウスのメガ[編集]

円の中に2 = 2[5]

= 2[4]2
= 2[4][4]
= (2[3]2)[4]
= (2[3]2)[3]2[3]2
= 2[3]2 + 2[3]2 = 2[3]2 + 2[3][3] = 2[3]2 + 4[3] = 2[3]2+256 =2[3]258
= ((2[3])[3])[4]
= ((2[3])2[3])[4]
= ((22)22)[4]
= 22×22[4]
=223[4]
= 256[4]
= 256[3]256
= 256 \underbrace{[3][3]\ldots[3]}_{256}

256[3]nを順に見ていくと、

256[3]=256^{256} \left(= \left(2^8\right)^{256} = \underbrace{2^8 \times 2^8 \times \ldots \times 2^8}_{256} =2^{8 \times 256 }=2^{2048}\right)
256 [3]_2=256[3][3]=(256 [3])^{256 [3]} \left( = \left( 256^{256} \right) ^{256^{256}} \right) =256^{256 \times 256[3] } ={256}^{256 \times{256^{256}}}={256}^{256^{257}}=(256 \uparrow )^2 257 \left( = \left(2^{2048}\right) ^{2^{2048}}= 2^{2^{11} \times 2^{2048} } =2^{2^{2059}}= (2 \uparrow)^2 2059 \right) ,
256[3]_3=256[3]_2 [3]= 256[3]_2\uparrow\uparrow 2  =\left( 256^{256^{257}}\right)^{256^{256^{257}}}  =256^{256^{257} \times 256^{256^{257}}}=(256 \uparrow)^2 (256^{257} + 257) \left(=\left(2^{2^{2059}}\right) ^{2^{2^{2059}}} =2^{2^{2059}\times 2^{2^{2059}}}=(2 \uparrow) ^2 \left(2059 + 2^{2059} \right)\right)

となる。ここで、きわめて大雑把な「近似

256[3]_3= 256^{256^{257 + 256^{257}}} \risingdotseq 256^{256^{256^{257}}} = (256 \uparrow) ^3 257

を導入する。しかし近似といっても実際は

 256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left(256^{256^{256^{257}}}\right) ^ {256 ^ {257}} \gg  256^{256^{256^{257}}}

であり、通常の感覚ではまったくかけ離れていることに注意。

同様に、

256[3]_4 \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}} = (256 \uparrow) ^4 257
256[3]_5 \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}} = (256 \uparrow) ^5 257

と「近似」できる。したがって、

円の中に2  = 256[3]_{256} \risingdotseq (256 \uparrow) ^{256} 257

である。

さらに大雑把な「近似」を認めれば、

円の中に2  \risingdotseq 256\uparrow\uparrow 257

と表せる。ただし実際は、

円の中に2  \gg  (256 \uparrow) ^{256} 257 (\gg 256\uparrow\uparrow 257)

である。

具体的な値は

円の中に2 \approx(10\uparrow)^{255} \left( 1.99\times 10^{619} \right)

に近く、したがって

10\uparrow\uparrow 257 < 円の中に2  < 10\uparrow\uparrow 258

の範囲にあり、よって

 10\uparrow\uparrow 256<\log_{10}{} 円の中に2 < 10\uparrow\uparrow 257

となる。

スタインハウスのメジストン[編集]

円の中に10 = 10[5] = 10[4]10=10\underbrace{[4][4] \cdots [4]}_{10}=(10[4])[4]_9=(10[4]_9)[4]=10[4]_9[3]_{10[4]_9}

=10[4][3]_{10[4]}\underbrace{[4][4]\cdots[4]}_8 =10[4][3]_{10[4]}[3]_{10[4][3]_{10[4]}}[4]_7= 10[4][3]_{10[4]}[3]_{10[4][3]_{10[4]}}[3]_{ 10[4][3]_{10[4]}[3]_{10[4][3]_{10[4]}} }[4]_6 = 10[4][3]_{10[4]}[3]_{10[4][3]_{10[4]}}[3]_{ 10[4][3]_{10[4]}[3]_{10[4][3]_{10[4]}} } [3]_{ 10[4][3]_{10[4]}[3]_{10[4][3]_{10[4]}}[3]_{ 10[4][3]_{10[4]}[3]_{10[4][3]_{10[4]}} } }[4]_5

スタインハウスのメガの時と似た「近似」によって、およそ

a[4]=a[3]_a\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1)
a[4]\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1) \risingdotseq a\uparrow\uparrow a \quad \mathrm{ when } \ a \gg 1 (*)

であるとすると、

10[4]=10[3]_{10} \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 11
10[4]_2 = 10[4][4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow 11)\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)

ここで、一般のa,b,nについて次のような式を考える。a ↑b = ab に注意すれば、


\begin{align}
(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n & = (a\uparrow\uparrow b)\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
& = (a\uparrow (a\uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
& = a\uparrow ((a\uparrow (b-1)) + (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
\end{align}

a,bが十分に大きければ

a\uparrow (b-1) \ll (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)

だから、

(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1))

と近似してよい。

これを n が 1 になるまで繰り返せば、


\begin{align}
(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n &\risingdotseq \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow 1) \\
&= \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow (a\uparrow\uparrow b) \\
&\risingdotseq a\uparrow\uparrow ((n-1) + b)
\end{align}

したがって、n\gg  b ならば

(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow\uparrow n (**)

と近似してよい。

(**)を用いて、改めて 10[4]2 を近似すると

10[4]_2 \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)

である。以下同様に(*)と(**)を使えば

10[4]_3 = 10[4]_2[4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11))= 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^3 11
10[4]_4 = 10[4]_3[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^4 11
10[4]_5 = 10[4]_4[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^5 11

したがって、

10[4]_{10} \risingdotseq 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11

であるので、大ざっぱには

円の中に10  \risingdotseq 10\uparrow\uparrow\uparrow 11

である。ただし、実際はメガと同様に、

円の中に10  \gg (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11 \gg 10\uparrow\uparrow\uparrow 11

である。

モーザー数[編集]

モーザー数は B(1)=11, B(n+1)=B(n)+2^{B(n)} (n=1,2,3 \cdots)と定義したときの 2[ 円の中に2 ] = 2[2[5]]=2[2[3]_{258}]=2 [ 22B(256) ]=2 [ 22B(256)-1 ]2=2 [ 22B(256)-1 ][ 22B(256)-1 ]=2 [ 22B(256)-2 ][ 22B(256)-2 ][ 22B(256)-1 ]=2 [ 22B(256)-3 ][ 22B(256)-3 ][ 22B(256)-2 ][ 22B(256)-1 ]=2 [ 22B(256)-4 ][ 22B(256)-4 ][ 22B(256)-3 ][ 22B(256)-2 ][ 22B(256)-1 ]=…= 2 [3] \underbrace{[3][4] \ldots \left[2^{2^{B(256)}}-1 \right]}_{2^{2^{B(256)}}-3} =2^2 \underbrace{[3][4] \ldots \left[2^{2^{B(256)}}-1 \right]}_{2^{2^{B(256)}}-3} =4 \underbrace{[3][4] \ldots \left[2^{2^{B(256)}}-1 \right]}_{2^{2^{B(256)}}-3}= 256 \underbrace{[4][5] \ldots \left[2^{2^{B(256)}}-1 \right]}_{2^{2^{B(256)}}-4} = 円の中に2 [5][6][7]…[22B(256)-1]である。先に示したように円の中に2は相当な巨大数であるので、円の中に2角形はほとんど円も同然であり、忠実な多角形の図による表記は事実上不可能である。

円の中に2よりはるかに大きいことは自明で、また円の中に10よりもはるかに大きい。

しかし、グラハム数よりは圧倒的に小さいことが Tim Chow によって1998年に証明された。[1] この証明によれば、モーザー数 Mチェーン表記を用いて

 M < 3 \rightarrow 3 \rightarrow ((3 \rightarrow 3 \rightarrow 5)\times 2 - 1)

つまり矢印表記だけで表して

 M < 3 \uparrow^{ (3 \uparrow^5 3)\times 2 - 1 }3= 3 \uparrow^{ (3 \uparrow^4 3 \uparrow^4 3)\times 2 - 1 }3

である。

モーザー数をクヌースの矢印表記で厳密に表すのは事実上不可能であるが、およそ3↑↑↑…(22B(256)-2本)…↑↑↑3=3↑22B(256)-2 3に近似すると考えられる。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]