テトレーション

テトレーション (tetration) は、冪乗の次の、4番目のハイパー演算である。つまり、自らの冪乗を指定された回数反復する演算である。

超冪（ちょうべき）ともいう。ただし、超冪は n ≥ 4 番目の一般のハイパー演算を総称することもある。

第1から第4のハイパー演算は次のとおり。

1. 加算 (hyper1) $a + b = a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_b$
2. 乗算 (hyper2) $a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a}_b$
3. 冪乗 (hyper3) $a^b = a \uparrow b = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_b$
4. テトレーション (hyper4) $^b a = a \uparrow\uparrow b = \underbrace{a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_b = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_b$

これらの演算のなかのテトレーションの特異性は、最初の3つ（加算、乗算、冪乗）は複素数値へ一般化できるがテトレーションの複素数値への正則な一般化が確立できず初等関数と見做すこともできないことである。

テトレーションは b を固定する毎に初等帰納的関数であるが b を変数と見做すと初等的でない。

aを底（てい）、bを高さという。

なお、冪乗の演算の優先順位は右（右上）からである。つまり、

$a ^ {b ^ c} = a ^ \left( b ^ c \right) \ne \left( a ^ b \right) ^ c$、

$a \uparrow b \uparrow \cdots \uparrow y \uparrow z = a \uparrow (b \uparrow (\cdots \uparrow (y \uparrow z))) \ne (((a \uparrow b) \uparrow \cdots) \uparrow y) \uparrow z$。

記法

テトレーションを表すにはいくつか等価な記法がある。

• $^b a\,$
• $a \uparrow\uparrow b$ （クヌースの矢印表記）
• $a \rightarrow b \rightarrow 2$ （コンウェイのチェーン表記）
• $a ^ {(4)} b\,$ （ハイパー演算子、正しくは④を用いる）
• $\operatorname{hyper4}(a,b)$ （ハイパー演算子の関数形式）
• $\operatorname{hyper}(a,4,b)$ （ハイパー演算子の3変数関数形式）
• $\exp_a^b 1$ （反復指数関数）

例

$\exp_a^b x$は反復指数関数で、

$\exp_a^b x = (a \uparrow)^b x = \underbrace{a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_b \uparrow x$。

$n$	${}^{2}n$	${}^{3}n$	${}^{4}n$
0	1	0	1
1	1	1	1
2	4	16	65,536
3	27	7,625,597,484,987	$\approx \exp_{10}^3(1.09902)$
4	256	$\approx \exp_{10}^2(2.18788)$	$\approx \exp_{10}^3(2.18726)$
5	3,125	$\approx \exp_{10}^2(3.33931)$	$\approx \exp_{10}^3(3.33928)$
6	46,656	$\approx \exp_{10}^2(4.55997)$	$\approx \exp_{10}^3(4.55997)$
7	823,543	$\approx \exp_{10}^2(5.84259)$	$\approx \exp_{10}^3(5.84259)$
8	16,777,216	$\approx \exp_{10}^2(7.18045)$	$\approx \exp_{10}^3(7.18045)$
9	387,420,489	$\approx \exp_{10}^2(8.56784)$	$\approx \exp_{10}^3(8.56784)$
10	10,000,000,000	$\exp_{10}^3(1)$	$\exp_{10}^4(1)$

拡張

テトレーションは、高さが自然数以外の場合に拡張できる。

底が0

$0^0$ が単純には定義できないため、$^k 0$ は直接には定義できないが、極限が

$\lim_{n \rightarrow 0} {} ^ {k} n \rightarrow \begin{cases} 1, & k \in 2\mathbb{Z} \\ 0, & k \in 2\mathbb{Z} + 1 \end{cases}$

と収束するため、

${}^{k}0 = \begin{cases} 1, & k \in 2\mathbb{Z} \\ 0, & k \in 2\mathbb{Z} + 1 \end{cases}$

と定義する。（$2\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z} + 1$ は偶数、奇数）

たとえば、

${}^0 0 = 1, \ {}^1 0 = 0, \ {}^2 0 = 1 \,$。

なおここで、$0^0$ が一意に決まらないにもかかわらず ${}^2 0 ( = 0 ^ 0)$ が定義できるのは、$a ^ b$ の a と b が等しいという条件下で極限を取ったからである。

高さが∞

$y = {}^\infty x$

ある範囲の x （実数では $e ^ {-e} < x < e ^ \frac{1}{e}$） に対し、$\lim_{k \rightarrow \infty} {}^k x$ は収束するため、その極限を ${}^\infty x$ と定義する。

極限が存在するとは ${}^\infty x = x ^ {{}^\infty x}$ が成立するということなので、一般の複素底 z に対して、

${}^\infty z = -\frac{\operatorname{W} (- \ln{z})}{\ln{z}}$

が成り立つ。WはランベルトのW関数。

高さが非正

定義より

${}^{k}n = \log_n \left\{{}^{(k+1)}n \right\}$

が成り立つので、この関係を k ≤ 0 に対しても帰納的に拡張し

$\begin{array}{rclclcccc} {}^{1}n & = & \log_n \left({}^{2}n\right) & = & \log_{n} \left(n^n\right) & = & n \log_{n} n & = & n \\ {}^{0}n & = & \log_{n} \left({}^{1}n\right) & = & \log_{n} n & & & = & 1 \\ {}^{-1}n & = & \log_{n} \left({}^{0}n\right) & = & \log_{n} 1 & & & = & 0 \end{array}$

と定義する。

ただし、定義できるのは k = -1 までで、log 0 が存在しないため k = -2 に対しては定義できず、したがって k ≤ -2 に対して定義できない。