ペンテーション

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ペンテーション (pentation) は、テトレーションの次の、5番目のハイパー演算である。つまり、自らのテトレーションを指定された回数反復する演算である。

第1から第5のハイパー演算は次のとおり。

  1. 加算 (hyper1) a + b = a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{b \mathrm{ \ copies \ of  \ }1 }
  2. 乗算 (hyper2) a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{b \mathrm{ \ copies \ of  \ }a }
  3. 冪乗 (hyper3) a^b = a \uparrow b = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{b \mathrm{ \ copies \ of  \ }a }
  4. テトレーション (hyper4) ^b a = a \uparrow\uparrow b = \underbrace{a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_{b \mathrm{ \ copies \ of  \ }a } = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{ \cdot ^{ \cdot ^{a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}_{b \mathrm{ \ copies \ of  \ }a }
  5. ペンテーション (hyper5) a \uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace{a \uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow a}_{b \mathrm{ \ copies \ of  \ }a } = \left.
\begin{matrix}
\underbrace{a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}}_{\underbrace{{}_{ a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}} }}_{\underbrace{\vdots}_{{}_{} \underbrace{{}_{{}_{a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}}}}_{a}{}_{}}}}
\end{matrix}
\right \} b

ペンテーションは初等関数である。

なお、テトレーションの演算子の優先順位は右からである。つまり、

a \uparrow\uparrow b \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow y \uparrow\uparrow z = a \uparrow\uparrow (b \uparrow\uparrow (\cdots \uparrow\uparrow (y \uparrow\uparrow z))) \ne (((a \uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow \cdots) \uparrow\uparrow y) \uparrow\uparrow z

記法[編集]

ペンテーションを表すにはいくつか等価な記法がある。