最小公倍数

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最小公倍数(さいしょうこうばいすう、: least common multiple)とは、0ではない複数の整数公倍数のうち最小のものをさす。たびたび、L.C.M.等の省略形で記述される。

定義[編集]

2つ以上の整数a_1,\ldots, a_nの最小公倍数とは、a_1,\ldots, a_nの公倍数のうち最小の正整数である。

つまり、a_1,\ldots, a_n


a_j = \varepsilon_j\prod_{p;\mathrm{prime}}p^{e_p(j)}\ \ \ (e_p(j)\ge 0,\ \ \varepsilon_j=\pm 1)

素因数分解したとき、a_1,\ldots, a_nの最小公倍数は


\prod_{p;\mathrm{prime}}p^{\max\{e_p(1),\ldots,e_p(n)\}}

で与えられる。

例えば、3042の最小公倍数は210である。

諸概念[編集]

正整数a,\ bに対して、ab最大公約数\mathrm{gcd}(a,\ b)と最小公倍数\mathrm{lcm}(a,\ b)との間には


\mathrm{gcd}(a,\ b)\cdot\mathrm{lcm}(a,\ b) = ab

という関係がある。

しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、a = 2,\ b = 6,\ c = 15とすると、\mathrm{gcd}(a,\ b,\ c) = 1,\ \mathrm{lcm}(a,\ b,\ c) = 30であるが、abc = 180である。

多項式の最小公倍数[編集]

多項式0でない公倍数のうち、最も次数の低いものを最小公倍数という。例えば、x^3-xx^3+x^2-x-1の最小公倍数はx(x+1)^2(x-1)である。

多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。

参考文献[編集]

  • 高木貞治 『初等整数論講義第2版』 共立出版、東京、1971年

関連項目[編集]