クヌースの矢印表記

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クヌースの矢印表記とは、1976年ドナルド・クヌース巨大数を表現するために発明した表記法である。これは、乗算加算の反復であり、冪乗が乗算の反復であるのと同様の考え方に基づくもので、冪乗の反復(テトレーション、超指数)を表す演算の表記法である。

導入[編集]

加算→乗算→冪乗[編集]

乗算は、加算の反復によって定義できる。

冪乗は、乗算の反復によって定義できる。

なお、一部の初期のコンピュータでは、上向き矢印を冪乗演算子に使ったので、それを使うと

例として、 グーゴルプレックス は、10↑10↑100 と書ける。

テトレーション[編集]

ここでクヌースは、二重矢印をテトレーション(指数計算の反復)を表す演算子として定義した。肩に乗って行く様子から,タワー表記とも呼ぶ.

この定義によると、

etc.

これにより、非常な巨大数を導くことができる。

他にも

(10の100億乗)

などもある。

それ以上[編集]

だがクヌースはこれに飽き足らず、「2重矢印」による演算を反復する演算子として、「3重矢印」を定義した。

同様に、「4重矢印」演算子も定義できる。

これを一般的に述べると、n 重の矢印演算子は、(n − 1) 重の矢印演算子の反復として表すことができる。

具体例を挙げると、14↑↑↑↑4 は 14↑↑↑14↑↑↑14↑↑↑14 である。

なお、矢印を使った指数の記法 も、クヌースの矢印記号の特殊例(一重矢印)として再解釈される。

優先規則[編集]

全てのクヌースの矢印(通常の指数計算である ab も含む)は、右から計算される。例えば、abc = a↑(bc) であり、(ab)↑c ではない。

具体例を挙げると、

であり、

ではない。

拡張記法[編集]

n重矢印演算子[編集]

n 重の矢印演算子を単に と書く。たとえば、

functional power[編集]

は、関数

m-th functional power

である。つまり

である。たとえば、

定義[編集]

クヌースの矢印表記は、次のように定義される。

ここで、a, b, n は整数である。ただし、b ≥ 0, n ≥ 1 である。なおa0 ≡ 1なので、最初の2式の優先順位はどちらでもよい。

functional powerを使って、次のようにも定義できる。

他の記法との関係[編集]

すでに述べたとおり、1重のクヌースの矢印は冪乗を表す。また、2重のクヌースの矢印は左上付き数字と同じテトレーションを表す。

アッカーマン関数は、 を使ったクヌースの記法でほぼ表せる。

ハイパー演算子は、積・和・後者関数も表せる以外は、 を使ったクヌースの記法と等価である。

コンウェイのチェーン表記は、3連では を使ったクヌースの矢印表記と等価だが、さらに長く続けることで、クヌースの矢印表記では表せない大きな数、たとえばグラハム数の範囲などを表すことができる。

フォントの都合による代替表記[編集]

コンピュータ上でのテキストとして表記する場合、フォントによっては↑のような記号が無い場合もあるため、a^^bのようにサーカムフレックスを並べる表記を行う場合がある。クヌース自身も、これを代替的あるいは簡便な記法として認めている。

指数表記 ab のかわりに a^b と書くのも、これと同じである。