最大公約数

最大公約数（さいだいこうやくすう、英: greatest common divisor）とは、少なくとも1個が0ではない複数の整数の公約数のうち最大のものを指す。

しばしば「G.C.D.」や「G.C.M. (Greatest Common Measure)」、「G.C.F. (Greatest Common Factor)」、「H.C.F. (Highest Common Factor)」等の省略形で記述される。

定義[編集]

2つ以上の整数 $a_1,\ldots ,a_n$ の最大公約数とは、 $a_1,\ldots, a_n$ の公約数のうち最大の正整数である。

つまり、 $a_1,\ldots, a_n$ を

a_j =\varepsilon_j\prod_{p\;\mathrm{prime}} p^{e_p (j)} \quad (e_p (j)\ge 0,\;\varepsilon_j =\pm 1)

と素因数分解したとき、 $a_1,\ldots, a_n$ の最大公約数は

\prod_{p\;\mathrm{prime}} p^{\min\{e_p(1),\ldots ,e_p(n)\}}

で与えられる。

例えば、30 と 42 の公約数は 1, 2, 3, 6 であるから、最大公約数は 6 である。

2つ以上の整数 $a_1,\ldots, a_n$ の最大公約数が1 であるとき、 $a_1,\ldots, a_n$ は互いに素であるという。

正整数 $a, b$ に対して、 $a$ と $b$ の最大公約数 $gcd (a, b)$ と最小公倍数 $lcm (a, b)$ との間には

\operatorname{gcd} (a,b)\cdot \operatorname{lcm} (a,b)=ab

という関係がある。

しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、 $a = 2, b = 6, c = 15$ とすると、 $gcd (a, b, c) = 1$ , $lcm (a, b, c) = 30$ であるが、 $abc = 180$ である。

多項式の公約数のうち、最も次数の高いものも最大公約数という。例えば、 $x^3 -x$ と $x^3 +x^2 -x-1$ の最大公約数は $x^2 -1$ である。

多項式の最大公約数は、定数倍を除いて一意に決まる。

一般にGCD整域（例えば一意分解整域）においても、最大公約数が（単元倍を除いて一意に）存在する。