スターリング数

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スターリング数(スターリングすう)は、上昇階乗冪 (rising factorial) や 下降階乗冪(falling factorial) を数値の冪乗と関係づけるための級数の展開係数として、イギリスの数学者ジェームズ・スターリング英語版が1730年に彼の著書 Methodus Differentialis で導入した数[1]である。スターリング数は第1種スターリング数と、第2種スターリング数に分類される。 第1種スターリング数はべき乗から階乗への変換に、第2種スターリング数は階乗からべき乗への変換に現れる。また、スターリング数は組合せ数学において意味をもった数値を与える。

第1種スターリング数[編集]

第1種スターリング数 (Stirling number of the first kind) は、上昇階乗冪 のべき級数:

で表現したときの展開係数として定義される。この定義では である。また、便宜上 と定義する。第1種スターリング数は、

なる漸化式で計算できる。この漸化式は、べき級数の展開係数としての定義から導出できる。第1種スターリング数の中で、簡単な数式で書ける成分として、

が挙げられる。なお、は二項係数(二項定理 参照)である。これらは上記の漸化式を用いれば証明できる。特に、第1の関係式は、 であることから導くこともできる。上に示した漸化式にしたがい、第1種スターリング数は下表のように計算される。なお、表中の空欄に位置する数値はゼロであると解釈する。

n \ k 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1
1 0 1
2 0 1 1
3 0 2 3 1
4 0 6 11 6 1
5 0 24 50 35 10 1
6 0 120 274 225 85 15 1
7 0 720 1764 1624 735 175 21 1

下降階乗冪 も第1種スターリング数を含む展開係数をともない、 のべき級数で表現できる。具体的には、

と書けるので、展開係数は第1種スターリング数に符号補正 を施した値である。この展開式は、

であることに注意すれば容易に証明できる。

第 1 種スターリング数の性質[編集]

第1の関係式は、 から導かれる。第 2 の関係式は から導かれる。第3の関係式は に関して、 であることから導かれる。

第1種スターリング数はベルヌーイ数 と次のような関係がある。

第1の関係式は、上昇階乗冪の和の公式:

から導くことができる。第2の関係式は、第1の関係式に第1種スターリング数の漸化式を適用すれば導かれる。

組み合わせ数学における意味[編集]

第1種スターリング数 は、組合せ数学において、 個の要素を 個の巡回列に分割する組み合わせの数を与える。巡回列は山手線の駅のように繰り返される要素を示したデータ列である。ここでは、巡回列を のように書こう。この場合、0, 2, 1, 3の順に数値が繰り返される場合を意味する。巡回列の場合、順列ではあるが のように要素を巡回置換した巡回列どうしは同一とみなす。したがって、 個の要素で構成される巡回列の組み合わせは 通りである。 また、 は1個の要素で構成される巡回列であると考える。

例として4個の要素を巡回列2個に分割する組み合わせを考えよう そのような分割においては、構成要素が1個と3個の巡回列に分割する組み合わせと、構成要素が2個と2個の巡回列に分割する組み合わせがある。前者の分割法では、4個の要素から、単独で巡回列をなす要素1個を選び、残りの3個の要素で巡回列を作る組み合わせを考えればよい。 要素4個から1個を選ぶ組み合わせは4通りであり、3個の要素から巡回列を作る組み合わせは2通りである。したがって、前者の分割法による組み合わせは全部で8通りとなる。後者については、4個の要素から巡回列をなす2個を選び、それぞれ2個の巡回列の組み合わせを考えればよい。 要素4個から2個を選ぶのは6通りの組み合わせがあり、2個の要素が巡回列は1通りしかない。しかし、得られる2個の巡回列は同一構造の巡回列なので、6通りの組み合わせからその自由度を補正する必要がある。つまり、2分の1するということであり、後者の分割法による組み合わせは3通りである。つまり、4個の要素を巡回列2個に分割する組み合わせは全部で11通りとなる。この数値は と一致する。 そのような組み合わせをすべて列挙すると以下のようになる。

上で説明した直接的な順列のつくり方のほかに、4個の要素から巡回列2個をつくる方法として次の手順を考える。手順1として、3個の要素から巡回列1個をつくり、4番目の要素を単独要素の巡回列として追加する。手順2として、3個の要素から巡回列2個をつくり、4番目の要素を既につくられた巡回列に追加する。手順1では、3個の要素から巡回列をつくる組み合わせとして2通りが可能である。手順2では、3個の要素から巡回列2個をつくる組み合わせが3通りある。さらに、4番目の要素を既存の巡回列に挿入する組み合わせは3通りずつあるので、手順2による組み合わせは9通りとなる。よって、手順1と手順2による組み合わせの合計として11通りになる。

この考え方を一般化し、 個の要素から 巡回列 個をつくるには、手順1として、 個の要素から 巡回列 個をつくった後、 番目の巡回列として 番目の要素を単独で追加する。 その組み合わせの数は、 個の要素から 巡回列 個をつくる組み合わせの数に等しい。手順2として、 個の要素から巡回列 個をつくった後、 番目の要素を既存の巡回列に挿入する。その組み合わせの数は、 個の要素から 巡回列 個をつくる組み合わせの数を 倍した値となる。手順1と手順2の組み合わせの和であることを考えると、 個の要素から 巡回列 個をつくる組み合わせの数は第1スターリング数の漸化式で与えられることがわかる。したがって、その組み合わせの数は第1スターリング数 に等しい。

第2種スターリング数[編集]

第2種スターリング数 (Stirling number of the second kind) は、 を下降階乗冪 の級数:

で展開したときの展開係数として定義される。この定義では、 である。便宜上、 と定義する。第2種スターリング数は

なる漸化式で計算できる。この漸化式は、上記の級数展開による定義から導出できる。その漸化式にしたがうと、第2種スターリング数は下表のよう計算される。

n \ k 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1
1 0 1
2 0 1 1
3 0 1 3 1
4 0 1 7 6 1
5 0 1 15 25 10 1
6 0 1 31 90 65 15 1
7 0 1 63 301 350 140 21 1

第2種スターリング数 は、第1種スターリング数に符号補正を施した に対して逆行列の関係、すなわち、

の関係を満たす。ただし、 とする。 また、クロネッカーのデルタである。この関係は、 を下降階乗冪 で展開した数式に対し、 のべき級数で展開すれば導出できる。 べき乗 は 上昇階乗冪 で展開した場合も、第2種スターリング数を含む展開係数をともなう。その展開した結果は、

となり、展開係数は第2種スターリング数に符号補正 を施した値である。この展開式は、 であることに注意すれば導出できる。

第2種スターリング数の性質[編集]

第1の関係式は第2種スターリング数の漸化式から導出できる。第2の関係式は、 であることから導出できる。第3の関係式は から導出できる。

第2種スターリング数もベルヌーイ数との関係を示すことができる。

第1の関係式は、第1種スターリング数とベルヌーイ数の関係式から導出できる。第2の関係式は、第1の関係式に第2種スターリング数の漸化式を適用すれば導出できる。さらに、第2種スターリング数は公式:

によって一般項が計算できる。しかし、この公式も総和記号を含んでいるため、漸化式よりも便利な公式とは言いがたいが、この公式をベルヌーイ数との関係式(第2の関係式)に代入すればベルヌーイ数の一般項を得ることができる。

組み合わせ数学における意味[編集]

第2種スターリング数 は、組合せ数学において、番号づけされた 個の要素をグループ 個に分割する組み合わせの数を与える。 分割する要素は番号付けされているので個別に区別できるが、グループは順序を特に区別しないものとする。 選択された要素を と書いた場合、 のように要素を置換した列も同一であるとみなす。分割されたグループに含まれる要素の数は均等である必要はなく、1個の要素しか含まないグループがあってもよいとする。 要素4個をグループ2個に分割するには、要素が1個の3個のグループに分割する場合と、要素が2個と2個のグループに分割する組み合わせが挙げられる。 前者の分割法では、要素4個から単独グループをなす要素1個を選ぶ組み合わせ、すなわち、4通りだけが存在する。後者の分割法では、要素4個から一方のグループを構成する2個を選ぶ組み合わせを考えればよい。その組み合わせは6通りあるのだが、分割される双方のグループが要素2個で構成されることから、グループ間に対称性がある。その対称性から2の自由度がある。その自由度を補正すると、後者の分割法は3通りの組み合わせがあることになる。したがって、要素 0, 1, 2, 3 をグループ2個に分割する組み合わせは、全部で以下の7通りがある。

上で列挙した要素4個をグループ2個に分割する組み合わせは、次のように構成することもできる。 手順1として、要素3個をグループ1個に分割し、4番目の要素を第2のグループとして単独で追加する。手順2として、要素3個をグループ2個に分割し、4番目の要素をどちらかのグループに挿入する。手順1で構成される組み合わせは、要素3個をグループ1個に分割する組み合わせの数:1通りに等しい。手順2で構成される組み合わせは、要素3個をグループ2個に分割する組み合わせの数:3通りに対して、4番目の要素を2つのグループのどちらかに挿入する組み合わせ(2 通り)があるので、全部で6通りである。手順1と手順2による組み合わせの和は7通りとなり、上で列挙した組み合わせの数と一致する。

これを一般化して、要素 個をグループ 個に分割するには、次の2つの手順で組み合わせをつくればよい。 手順1として、要素 個をグループ 個に分割し、 番目の要素を 番目のグループとして単独で追加すればよい。 手順 2 として、要素 個をグループ 個に分割し、 番目の要素を 個のグループのどれかに挿入する。手順1で構成される組み合わせの数は、要素 個をグループ 個に分割する組み合わせの数に等しい。 手順2で構成される組み合わせの数は、要素 個をグループ に分割する組み合わせの数の 倍に等しい。したがって、手順1と手順2で構成される組み合わせの和として、求める組み合わせの数は第2種スターリング数の漸化式で与えられる。 要素 個をグループ 個に分割する組み合わせは、第2種スターリング数 で与えられる。


脚注[編集]

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  1. ^ Charalambos A., Charalambides, "Combinatorial Methods in Discrete Distributions," John Wiley & Sons, Inc., p. 73, 2005.

関連項目[編集]