数学定数

数学定数（すうがくていすう、英語: mathematical constant）とは、数学において特別な意味をもち、明確な定義によって値が定まる定数である。しばしば固有の記号（例：$\pi$, $e$, $i$）や名称をもち、複数の分野にわたって現れる。

数学定数の多くは実数または複素数である。代表例として、円周率 $\pi$、自然対数の底 $e$、虚数単位 $i$、黄金比 $\varphi$、オイラー＝マスケローニ定数 $\gamma$ などがある。

概要

数学における「定数」は、ある議論や式の中で値が固定されている量をいう。そのうち数学定数は、とくに独立した名称や記号をもち、定理・公式・極限・級数・積分などに繰り返し現れる著名な数を指すことが多い。たとえば $\pi$ は円周と直径の比、$e$ は自然対数の底として定義され、幾何学・解析学・確率論・数論など広い分野に現れる。

「数学定数」の語に厳密に固定された境界があるわけではないが、通常は、明確な数学的定義をもち、それ自体が研究対象または理論上の基礎的対象となる数をいう。文献によっては、単独の著名な数だけでなく、特定の理論から現れる定数の族や普遍定数まで含めて扱う。

生成のされ方

数学定数は、その由来によりいくつかの型に分けて考えることができる。

幾何学的な定数

$\pi$ は円周と直径の比として定義される代表的な幾何学的定数である。面積・体積・三角関数・複素解析など、多くの理論に現れる。

極限・級数・積分から定義される定数

$e$ は指数関数や自然対数の基礎定数であり、極限 $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ などで表される。オイラー＝マスケローニ定数 $\gamma$ は $\lim _{n\to \infty }(H_{n}-\log n)$ で定義され、アペリーの定数 $\zeta (3)$ はリーマンゼータ関数の特別値として現れる。

普遍現象に現れる定数

キンチンの定数は連分数展開に関する典型的挙動から現れる定数であり、ファイゲンバウム定数は周期倍化を経てカオスへ至る力学系に普遍的に現れる。こうした例は、数学定数が個別対象の記述にとどまらず、広いクラスの対象の共通性を表すことを示している。

計算理論に現れる定数

チャイティンの定数（Ω 数）は、普遍 prefix-free チューリング機械の停止確率として定義される定数の族である。各 Ω 数は computably enumerable である一方、algorithmically random でもあるため、非計算的である。

代表例

初等的な数学定数

• $\pi$ — 円周と直径の比。
• $e$ — 自然対数の底。
• $i$ — $i^{2}=-1$ を満たす虚数単位。
• ${\sqrt {2}}$ — 2 の正の平方根。
• $\varphi$ — 黄金比。

解析学・数論で重要な定数

• $\gamma$ — オイラー＝マスケローニ定数。
• $\zeta (3)$ — アペリーの定数。
• $G$ — カタランの定数。

他分野との接点をもつ定数

• キンチンの定数。
• ファイゲンバウム定数。
• チャイティンの定数。

数論的性質

数学定数の研究では、その数が有理数か無理数か、代数的数か超越数か、また他の定数とどのような代数的関係をもつかが重要な問題となる。たとえば ${\sqrt {2}}$ は無理数であるが代数的数であり、$\pi$ と $e$ は超越数である。

一方で、重要な数学定数の中には、無理性や超越性が未解決のものもある。オイラー＝マスケローニ定数 $\gamma$ の有理性・無理性は未解決である。また、$e$ と $\pi$ の代数的独立性も未解決である。

計算と実験数学

数学定数は古くから高精度計算の対象であり、その数値展開の研究は算法や計算機の発展と密接に関わってきた。とくに $\pi$ については、級数、積、反復法など多数の計算法が研究されている。

また、実験数学では、高精度計算によって得られた数値から未知の関係式や予想を探索することがある。整数関係探索に用いられる PSLQアルゴリズム は、その代表的手法の一つである。

未解決問題

数学定数に関しては多くの基本問題が未解決である。たとえば、オイラー＝マスケローニ定数 $\gamma$ が無理数かどうか、$e$ と $\pi$ が代数的独立かどうか、$\pi$ や $e$ がある基数に関して正規数であるかどうか、といった問題が知られている。

このように、数学定数は単なる既知の数値ではなく、数論・解析学・力学系・計算理論などの接点にある研究対象でもある。

数学定数でないもの

物理定数も「定数」と呼ばれるが、一般に自然界の測定や単位系と関わる量であり、数学的定義によって値が定まる数学定数とは性格が異なる。

また、近似値や丸め値は数学定数そのものではない。たとえば 3.14 は $\pi$ の近似値であって、$\pi$ そのものではない。

さらに、「定数」の語が名称に含まれていても、常に単一の普遍的値を指すとは限らない。チャイティンの定数は、採用する普遍 prefix-free 機械に依存する Ω 数の族である。

研究資料

数学定数は専門書や辞典において体系的に収録されている。和書では、S. R. フィンチ著・一松信監訳『数学定数事典』が数学定数を広く集成した代表的文献である。 また、数学全般の基本用語や関連概念の確認には『数学小辞典 第2版増補』が有用である。

主な数学定数

「分野」欄の略記は次の通り: 一般 - 数学一般、数論 - 数論、カオス - カオス理論、組合せ - 組合せ数学、情報 - 情報理論、解析 - 解析学。

「性質」欄の「有理数」は整数以外の有理数、「代数的数」は無理数の代数的数または虚数の代数的数、「無理数」は代数的数か超越数か不明の無理数を表す。

記号は重複がある。

記号	およその値	名称	分野	性質	発見年	既知の桁数
$0$	= 0	零、ゼロ	一般	整数	前7-前5世紀頃	∞
$\Lambda$	≧ 0 ≦ 0.2	ド・ブルイン-ニューマン定数	数論		1950年?	0
$l$	≈ 0.11000 10000 00000 00000 00010 00000 00000	リウヴィル数		超越数	1844年	∞
$C_{10}$	≈ 0.12345 67891 01112 13141 51617 18192 02122	チャンパーノウン定数		超越数	1934年	∞
$i^{i}$	≈ 0.20787 95763 50762	iのi乗	一般	超越数
	≈ 0.23571 11317 19232 93137 41434 75359 61677	コープランド-エルデシュ定数		超越数
$M,M_{1}$	≈ 0.26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585	マイセル-メルテンス定数	数論		1866年 1874年	8,010
$\beta$	≈ 0.28016 94990 23869 13303	ベルンシュタインの定数	解析
$\lambda$	≈ 0.30366 30028 98732 65859 74481 21901 55623	ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング定数	組合せ		1974年	385
$\sigma$	≈ 0.35323 63718 54995 98454	ハフナー-サルナック-マッカレー定数	数論		1993年
$\sigma$	≈ 0.41245 40336 40	プルーエ-トゥエ-モース定数		超越数
$L$	≧ 0.5 ≦ 0.543259	ランダウの定数	解析			1
$\cos 1$	≈ 0.54030 23058 6814	1の余弦		超越数
$\Omega$	≈ 0.56714 32904 09783 87299 99686 62210 35555	オメガ定数		超越数		1,000,000
$\gamma$	≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243	オイラー・マスケローニ定数	一般, 数論		1735年	1,337,000,000,000
$\lambda ,\mu$	≈ 0.62432 99885 43550 87099 29363 83100 83724	ゴロム・ディックマン定数	組合せ 数論		1930年 1964年
	≈ 0.64341 05463	カーンの定数		超越数	1891年	1,000,000
$C_{2}$	≈ 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577	双子素数の定数	数論			5,020
	≈ 0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290	ラプラス限界
$\ln 2$	≈ 0.69314 71805 59945 30941 72321 21458	2の自然対数	一般	超越数		3,000,000,000,000
$\beta ^{*}$	≈ 0.70258	エンブリー・トレフセン定数	数論
	≈ 0.73908 51332 15160 64165 53120 87673 87340	ドッティ数		超越数
	≈ 0.74048	3次元の最密充填密度		超越数
$K$	≈ 0.76422 36535 89220 66299 06987 31250 09232	ランダウ・ラマヌジャンの定数	数論			30,010
	≈ 0.80939 40205	アラディ-グリンステッド定数	数論
$\sin 1$	≈ 0.84147 09848 07896 50665 25023 21630 29899	1の正弦		超越数
$C_{2}$	≈ 0.86224 01258 68054 57	2進チャンパーノウン定数		超越数
$B_{4}$	≈ 0.87058 83800	四つ子素数に対するブルン定数	数論
	≈ 0.90689 96821 17109	2次元の最密充填密度		超越数
$K,G$	≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411	カタランの定数	組合せ			1,200,000,000,100
$1$	= 1	一、単位元	一般	整数		∞
$B,B_{L}^{\prime }$	≈ 1.08366	ルジャンドル定数	数論	整数		∞
$\Lambda$	≈ 1.09868 58055	レンジェル定数	組合せ		1992年
$K$	≈ 1.13198 824	ヴィスワナスの定数	数論			8
	≈ 1.18656 91104	ヒンチン-レヴィ定数	数論
$\zeta (3)$	≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999	アペリーの定数		無理数	1979年	2,020,569,031,595
${\sqrt[{3}]{2}}$	≈ 1.25992 10498 9487	2の立方根、デロスの定数	一般	代数的数
$A$	≈ 1.28242 71291	グレイシャー・キンケリンの定数	一般	不明
$\theta$	≈ 1.30637 78838 63080 69046 86144 92602 60571	ミルズの定数	数論		1947年	6,850
$\rho$	≈ 1.32471 95724 47460 25960 90885 44780 97340	プラスチック数	数論	代数的数	1928年
${\sqrt {2}}$	≈ 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807	2の平方根、ピタゴラスの定数	一般	代数的数	前800年頃	20,000,000,000,000
$\mu$	≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744	ラマヌジャン・ゾルトナー定数	数論			1,000,000
	≈ 1.45607 49485 82689 67139 95953 51116 54356	バックハウスの定数
	≈ 1.46707 80794	ポーターの定数	数論		1975年
	≈ 1.53960 07178	リーブの正方氷定数	組合せ		1967年
$E,E_{\mathrm {B} }$	≈ 1.60669 51524 15291 763	エルデシュ・ボールウェイン定数	数論	無理数
$\phi ,\tau$	≈ 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811	黄金比	一般	代数的数	前3世紀	20,000,000,000,000
	≈ 1.70521 11401 05367 76428 85514 53434 50816	ニーヴンの定数	数論		1969年
${\sqrt {3}}$	≈ 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505	3の平方根、テオドルスの定数	一般	代数的数	前800年頃
$B_{2}$	≈ 1.90216 05823	ブルン定数（双子素数に対する）	数論		1919年	10
${\sqrt {5}}$	≈ 2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623	5の平方根	一般	代数的数	前800年頃	1,000,000
$P_{2}$	≈ 2.29558 71493 92638 07403 42980 49189 49039	放物線定数		超越数
$\ln 10$	≈ 2.30258 50929 94045 68401 79914 54684	10の自然対数	一般	超越数		1,200,000,000,100
$\zeta _{\mathrm {S} }$	≈ 2.41421 35623 73095 04880 16887 24210	白銀比	一般	代数的数
$\alpha$	≈ 2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578	第2ファイゲンバウム定数	カオス			10,026
$K$	≈ 2.58498 17595 79253 21706 58935 87383 17116	シェルピンスキーの定数
$2^{\sqrt {2}}$	≈ 2.66514 41426 9023	ゲルフォント・シュナイダー定数、ビルベルト数		超越数
	≈ 2.68545 20010 65306 44530 97148 35481 79569	ヒンチンの定数	数論		1934年	1,000,000
$e$	≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249	ネイピア数、オイラー数、自然対数の底	一般, 解析	超越数	1618年	35,000,000,000,000
$F$	≈ 2.80777 02420 28519 36522 15011 86557 77293	フランセン・ロビンソン定数	解析
$\pi$	≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288	円周率、アルキメデスの定数、ルドルフ数	一般, 解析	超越数	前2000年頃	62,800,000,000,000
	≈ 3.27582 29187 21811 15978 76818 82453 84386	レヴィの定数
$\psi$	≈ 3.35988 56662 43177 55317 20113 02918 92717	フィボナッチ数列の逆数和		無理数
$\delta$	≈ 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161	第1ファイゲンバウム定数	カオス		1975年	10,022
$e^{\pi }$	≈ 23.14069 26327 7926	ゲルフォントの定数、e の π 乗		超越数		1,000,000
$i,j$	= 0 + 1i	虚数単位、−1 の平方根	一般, 解析	代数的数	16世紀	∞
$u,e^{i}$	≈ 0.54030 23058 6814 + 0.84147 09848 07897i	e の i 乗		超越数
$\omega$	≈ −0.5 + 0.86602 54037 84439i	1の虚立方根、1の自明でない立方根		代数的数

参考文献

• フィンチ, S. R. (2010). 数学定数事典. 一松信監訳. 朝倉書店. ISBN 978-4-254-11126-2 
• ヘイヴィル, ジュリアン (2009). オイラーの定数ガンマ―γで旅する数学の世界. 新妻弘訳. 共立出版. ISBN 978-4-320-01885-3 
• 矢野健太郎, ed (2017). 数学小辞典 第2版増補. 東京理科大学数学教育研究所第2版増補編集. 共立出版. ISBN 978-4-320-11319-0 
• 齋藤, 正彦 (2002). 数学の基礎―集合・数・位相. 東京大学出版会. ISBN 978-4-13-062909-6 

関連項目

• 定数
• 物理定数
• 数の一覧
• 円周率
• 自然対数の底
• オイラー＝マスケローニ定数
• チャイティンの定数
• 超越数
• 正規数
• 実験数学