スキューズ数

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スキューズ数(スキューズすう、Skewes number)は、南アフリカの数学者スタンレー・スキューズ英語版素数の個数に関する研究において用いた、極めて大きな数である。あるいは、π(x) > li(x) を満たす最小の自然数 x を指すこともある。ここに、π(x) は x 以下の素数の個数、li(x) は対数積分である。後者の意味でのスキューズ数は、1014 から 1.3983 × 10316 の間にあることが知られているが、正確な値は不明である。

歴史[編集]

素数定理によれば、π(x) は漸近的に li(x) に等しい。実際の値を比較すると、現実的に計算が実行可能な程度に x が小さいあいだは常に li(x) の方が大きいように見える。このことから、π(x) > li(x) となる x が存在するか、という問題が自然に考えられる。ガウスリーマンはそのような x は存在しない、と予想していた。スキューズの指導教官であるリトルウッドは、1914年の論文において、そのような x が存在することのみならず、π(x) − li(x) の符号は無限回変わることを示した。すなわち、π(x) と li(x) は無限回抜きつ抜かれつするのである。しかし、リトルウッドの証明は、いつ初めて π(x) が li(x) を追い抜くか、という見積もりを与えるようなものではなかった。

スキューズは、1933年の論文において、リーマン予想が真であるとの仮定の下に、π(x) > li(x) となる x は、次の数以下に存在することを証明した。

これがオリジナルのスキューズ数であり、スキューズ数とも呼ばれる。

後にグラハム数などにその座を譲ることになるが、当時としては意味のある数学的議論に登場する最大の数であった。現実的計算不可能レベルの巨大数の中で最も古いものと考えることもできる。なお、この見積もりは非常に大雑把なものであり、後述のように評価は大幅に改良される。

さらに、スキューズは1955年には、リーマン予想が真であると仮定することなしに、x は次の数以下に存在することを証明した。

これは第二スキューズ数と呼ばれる。よりシンプルな表現の近似 も第二スキューズ数の近似値としてしばしば用られる。

評価の改良[編集]

スキューズの与えたこれらの見積もりは非常に大きいため、より小さな評価を与える研究が進められた。それは、コンピュータを用いてリーマンゼータ関数零点を計算することによって行われる。Lehman (1966) が示したところによると、1.53 × 101165 から 1.65 × 101165 の間に π(x) > li(x) となるような整数 x が連続して 10500 個以上ある。H. J. J. te Riele (1987) は上からの評価を約 7 × 10370 にまで、Bays & Hudson (2000) は約 1.3983 × 10316 にまで下げ、その付近に π(x) > li(x) なる x が存在することを示した。

一方、Rosser & Schoenfeld (1962) は、x < 108 においては常に π(x) < li(x) であることを示した。この記録は Brent (1975) によって 8 × 1010 にまで、Kotnik (2008) によって 1014 にまで更新された。

正確にいつ初めて π(x) が li(x) が追い抜くのかは、未解決の問題である。それどころか、π(x) > li(x) となる具体的な x の値はひとつも知られていない。

Wintner (1941) は、π(x) > li(x) なる x の割合は正であることを示し、Rubinstein & Sarnak (1994) はその割合がおよそ 0.00000026 であることを示した。

参考文献[編集]

  • Bays, C.; Hudson, R. H. (2000), “A new bound for the smallest x with π(x) > li(x)”, Mathematics of Computation 69 (231): 1285--1296, MR1752093, http://www.ams.org/mcom/2000-69-231/S0025-5718-99-01104-7/S0025-5718-99-01104-7.pdf 
  • Brent, R. P. (1975), “Irregularities in the distribution of primes and twin primes”, Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 29 (129): 43--56, doi:10.2307/2005460, MR0369287, http://jstor.org/stable/2005460 
  • Chao, Kuok Fai; Plymen, Roger (2005), “A new bound for the smallest x with π(x) > li(x)”, International Journal of Number Theory 6: 681--690, doi:10.1142/S1793042110003125, http://arXiv.org/abs/math/0509312 
  • Kotnik, T. (2008), “The prime-counting function and its analytic approximations”, Advances in Computational Mathematics 29: 55–70, doi:10.1007/s10444-007-9039-2 
  • Lehman, R. Sherman (1966), “On the difference π(x) - li(x)”, Acta Arith. 11: 397--410, MR0202686 
  • Littlewood, J. E. (1914), “Sur la distribution des nombres premiers”, Comptes Rendus 158: 1869–1872 
  • Skewes, S. (1933), “On the difference π(x) − Li(x)”, Journal of the London Mathematical Society 8: 277–283 
  • Skewes, S. (1955), “On the difference π(x) − Li(x) (II)”, Proceedings of the London Mathematical Society 5: 48–70, MR0067145 
  • te Riele, H. J. J. (1987), “On the sign of the difference π(x) − Li(x)”, Mathematics of Computation 48 (177): 323–328, MR0866118, http://links.jstor.org/sici?sici=0025-5718%28198701%2948%3A177%3C323%3AOTSOTD%3E2.0.CO%3B2-N 
  • Rosser, J. B.; Schoenfeld, L. (1962), “Approximate formulas for some functions of prime numbers”, Illinois Journal of Mathematics 6: 64–94, MR0137689 
  • Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994), “Chebyshev's bias”, Experiment. Math. 3 (3): 173–197, MR1329368, http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870 
  • Wintner, A. (1941), “On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem”, Amer. J. Math. (The Johns Hopkins University Press) 63 (2): 233–248, doi:10.2307/2371519, JSTOR 10.2307/2371519, MR0004255, http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9327%28194104%2963%3A2%3C233%3AOTDFOT%3E2.0.CO%3B2-N 

関連項目[編集]

外部リンク[編集]