零点

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零点(れいてん、ぜろてん、: zero)とは、ある関数 f によって、0 に写される点、すなわち f(z) = 0 を満たす z のことである。複素解析代数幾何学などにおいて、方程式のと呼ばれるものを幾何学的に取り扱う際に、しばしばこの表現が用いられる。

ゼータ関数の零点の分布は数論的にも重要な意味を持つ。

関数 f(z) の零点全体のなす集合 {z | f(z) = 0 } のことを零点集合と呼ぶことがある。2つ以上の関数が零点を共有するとき、その零点を共通零点とよぶ。多変数多項式系の共通零点集合はザリスキー位相などの位相構造を入れて代数多様体となる。

f(z)解析関数で、その零点集合が集積点を持てば、一致の定理から f(z) は恒等的に 0 となるので、一般に定数でない解析関数の零点は孤立点となる。

解析関数 f(z)

f(z) = (z-a)^k g(z)

(ただし、k は正の整数で、g(z)g(a) ≠ 0 となる正則関数)と表せるとき、z = a は関数 fk 位の零点であるといい、k を零点 z = a における重複度 (multiplicity) または位数 (order) と呼ぶ。また、このとき f(z)g(z) は点 z = a において k 位の接触を持つという。

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