素数計数関数

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素数計数関数: Prime-counting function)とは、正の実数にそれ以下の素数の個数を対応させる関数のことであり、π(x) で表す[1][2]

歴史[編集]

数論歴史において π(x) の増大度は重要な関心事とされてきた[3][4]

18世紀数学者オイラーは、素数列の逆数の和が発散することを示した(素数の無限性の証明を参照)。平方数の逆数の和は収束するため、これは π(x) が平方数ほど速く増大しないことを示している[5]

1808年ルジャンドルは以下の等式を示した[5]

ここで メビウス関数ガウス記号であり、和は N 以下のすべての素数の積 P のすべての正の約数 d を動く。この式より、

が導かれる[5]

素数定理[編集]

18世紀末には、π(x) が に漸近近似できること、即ち

が成り立つであろうということが、ガウスにより予想されていた。1850年頃にチェビシェフは、この等式の左辺がもし極限を持つならば、それは1でなくてはならないことを示した[5]。その後もこの予想は長らく証明されなかったが、1896年になってジャック・アダマールシャルル=ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン英語版により独立に証明され、現在では素数定理と呼ばれている。彼らの証明は、リーマンゼータ関数の性質を用いている。

長い間、解析的方法を用いなければ素数定理を証明することはできないと信じられていたが[5]1948年頃、セルバーグエルデシュ複素解析を用いない素数定理の証明を(ほぼ独立に)発見した[6]。それらの証明では、数論的関数の初等的評価のみを用いていた。

リーマンの明示公式[編集]

1859年リーマンは、π(x) をゼータ関数の非自明な零点を用いて表す式を発見した[5]

ここで は、

と定義され、和の ρ はゼータ関数の全ての非自明な零点をわたる。

数表[編集]

以下に π(x), x / ln x および li x の3つの関数を10の冪において比較した表を掲載する[3][7][8][9]

x π(x) π(x) − x / ln x li xπ(x) x / π(x)
10 4 −0.3 2.2 2.500
102 25 3.3 5.1 4.000
103 168 23 10 5.952
104 1,229 143 17 8.137
105 9,592 906 38 10.425
106 78,498 6,116 130 12.740
107 664,579 44,158 339 15.047
108 5,761,455 332,774 754 17.357
109 50,847,534 2,592,592 1,701 19.667
1010 455,052,511 20,758,029 3,104 21.975
1011 4,118,054,813 169,923,159 11,588 24.283
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 108,971 28.896
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 314,890 31.202
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1,052,619 33.507
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 3,214,632 35.812
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 7,956,589 38.116
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 21,949,555 40.420
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 99,877,775 42.725
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 222,744,644 45.028
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 597,394,254 47.332
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1,932,355,208 49.636
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 7,250,186,216 51.939
1024 18,435,599,767,349,200,867,866 339,996,354,713,708,049,069 17,146,907,278 54.243
1025 176,846,309,399,143,769,411,680 3,128,516,637,843,038,351,228 55,160,980,939 56.546
1026 1,699,246,750,872,437,141,327,603 28,883,358,936,853,188,823,261 155,891,678,121 58.850
π(x) とそれを近似する関数 x/ln x および Li x との比のグラフxが増大すると比が 1 に向かうこと、そして Li x に対する比の方が収束が速いことなどが見て取れる。

オンライン整数列大辞典において π(x) , π(x) − x / ln x、li xπ(x) の値はそれぞれA006880, A057835, A057752に掲載されている。

π(1024) の値は初めJ. Buethe、J. Franke、A. Jost、およびT. Kleinjungらによりリーマン予想の仮定の下で計算されたが[10] 、後にD. J. Plattによりコンピュータを用いて検証された[11]

π(x) の公式[編集]

上述のルジャンドルやリーマンらによる公式以外にも、π(x) を表す公式がいくつか存在する。例えばWilliansは、ウィルソンの定理に基づき次の初等的な公式を与えている[5]

ここで は、ガウス記号を用いて

と定義される関数である。これが π(x) を表す理由は単純で、F(j) は合成数ならば 0、その他の値に対しては 1 を取るからである。ウィルソンの定理と同様、この公式も実用的な計算には用いることができない。

その他、ドイツの数学者Meisselによる巧妙な漸化関係を持つ公式などが知られている[5]。Meisselは1885年自身の公式を用いて π(109) の値を求めた。

不等式[編集]

π(x) と x/ln x の関係として以下の不等式が知られている[12]

左の不等号は x ≥ 17 で、右の不等号は x > 1 で成り立つ。

ピエール・デザルト2010年に次の2つの不等式

  • (ただし x ≥ 5393)
  • (ただし x ≥ 60184)

を示した[13]

関連項目[編集]

出典[編集]

  1. ^ Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). Algorithmic Number Theory. MIT Press. volume 1 page 234 section 8.8. ISBN 0-262-02405-5. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Prime Counting Function". MathWorld(英語). 
  3. ^ a b How many primes are there?”. Chris K. Caldwell. 2008年12月2日閲覧。
  4. ^ Dickson, Leonard Eugene (2005). History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality. Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2. 
  5. ^ a b c d e f g h Paulo Ribenboim著 吾郷 孝視訳編 『素数の世界』2001年、共立出版
  6. ^ Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1998). A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-97329-X. 
  7. ^ Tables of values of pi(x) and of pi2(x)”. Tomás Oliveira e Silva. 2008年9月14日閲覧。
  8. ^ Values of π(x) and Δ(x) for various x's”. Andrey V. Kulsha. 2008年9月14日閲覧。
  9. ^ A table of values of pi(x)”. Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel. 2008年9月14日閲覧。
  10. ^ Conditional Calculation of pi(1024)”. Chris K. Caldwell. 2010年8月3日閲覧。
  11. ^ Computing π(x) Analytically)”. 2012年7月25日閲覧。
  12. ^ Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962). “Approximate formulas for some functions of prime numbers”. Illinois J. Math. 6: 64–94. ISSN 0019-2082. Zbl 0122.05001. http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ijm/1255631807. 
  13. ^ Dusart, Pierre. “"ESTIMATES OF SOME FUNCTIONS OVER PRIMES WITHOUT R.H."”. arxiv.org. 2014年4月22日閲覧。

外部リンク[編集]