リーマンゼータ関数

複素数平面におけるリーマンのゼータ関数。点 s における色が ζ(s) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。s = 1 における白い点は極であり、実軸の負の部分および臨界線 Re(s) = 1/2 上の黒い点は零点である。

数学におけるリーマンゼータ関数（リーマンゼータかんすう、英: Riemann zeta function）とは、s を複素数、n を自然数とするとき、

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

で表される関数 ζ のことである。素数分布の研究を始めとした解析的整数論における重要な研究対象であり、数論や力学系の研究を初め数学や物理学の様々な分野で用いられているゼータ関数と呼ばれる一連の関数のうち、最も歴史的に古いものである。リーマンのゼータ関数とも呼ばれる。上記級数は s の実部が 1 より真に大きい複素数のときに収束する（s = 1 のとき調和級数である）が、解析接続によって s = 1 を一位の極としそれ以外のすべての複素数において正則な有理型関数となる。

ガンマ関数を用いれば、リーマンゼータ関数を

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\,\int _{0}^{\infty }\!\!\!{\frac {u^{s-1}}{e^{u}-1}}\,\mathrm {d} u$

とも定義できる。（導出はメリン変換を参照）

オイラーはこの関数を考察して主に特殊値に関する重要な発見をしていたが、後世、より重要な貢献をしたリーマンが用いたギリシャ文字の ζ による表記に因み、リーマンゼータ関数と呼ばれる。

ゼータ関数の特殊値

ゼータ関数に整数を代入したものをゼータ定数またはゼータ関数の特殊値と言う。任意の正の偶数 2n について

$\zeta (2n)=(-1)^{n+1}\,{\frac {\,B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

と表せる。ここで、B_2n はベルヌーイ数である。また、n ≥ 1 の時、

$\zeta (-n)=-{\frac {\,B_{n+1}\,}{\,n+1\,}}$

が成り立つ。s が負の偶数であれば ζ(s) = 0 であり、これらをリーマン・ゼータ関数の自明な零点と呼ぶ。これらの表示はオイラーによる。

具体的には、

$\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}$

$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}}}={\pi ^{2} \over 6}=1.6449\dots$（→バーゼル問題）

$\zeta (4)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{4}}}={\pi ^{4} \over 90}=1.0823\dots$

$\zeta (6)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{6}}}={\pi ^{6} \over 945}=1.0173\dots$

$\zeta (8)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{8}}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407\dots$

$\zeta (10)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{10}}}={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994\dots$

$\zeta (12)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{12}}}={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots$

$\zeta (14)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{14}}}={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots$

が成り立つ。ここで、

$\zeta (2n)=\eta _{n}\,\pi ^{2n}$

とおくと、

$\eta _{1}={\frac {1}{6}}$

$\eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}\,{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}\,{\frac {n}{(2n+1)!}}$

が成り立つ。この漸化式はベルヌーイ数の漸化式から導かれる。

$s$$=2n+1,\{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}$、つまり、3以上の正の奇数の場合、積分表示をすれば次の通りである。尚、次の $B_{2n+1}(x)$ は、ベルヌーイ多項式である。

$\zeta (2n+1)={\dfrac {(-1)^{n+1}(2\pi )^{2n+1}}{2\cdot (2n+1)!}}\,\int _{0}^{1}{\dfrac {B_{2n+1}(x)}{\tan(\pi x)}}\,\mathrm {d} x$

またラマヌジャンなどは彼が産み出した保型形式により次のような表示式を得ている。尚、$B_{n}$はベルヌーイ数である。

$\zeta (4n-1)={\frac {(2\pi )^{4n-1}}{2}}\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k+1}\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\,{\frac {B_{4n-2k}}{(4n-2k)!}}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{-4n+1}}{e^{2\pi k}-1}}$

$\zeta (4n+1)={\frac {(2\pi )^{4n+1}}{2^{4n+1}-2}}\sum _{k=0}^{2n+1}(-1)^{k+1}\,{\frac {2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}}\,{\frac {B_{4n+2-2k}}{(4n+2-2k)!}}-{\frac {2^{4n+1}}{2^{4n}-1}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{-4n-1}}{e^{\pi k}+(-1)^{k}}}$

小さい正の奇数については、

$\zeta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}=\infty$ （→調和級数）

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{3}}}=1.20205\dots$（アペリーの定数）

$\zeta (5)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{5}}}=1.03692\dots$

$\zeta (7)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{7}}}=1.00834\dots$

$\zeta (9)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{9}}}=1.002008\dots$

などが数値的に成り立っている。これらに関して、

$\zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left\{1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)\,2^{2k}}}\right\}$

$\zeta (5)={\frac {1}{294}}\,\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}+1)}}$

$\zeta (5)={\frac {1}{270}}\,\pi ^{5}-{\frac {32}{15}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,\left(e^{\pi n}+(-1)^{n}\right)}}$

$\zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,\sinh \pi n}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}+1)}}$

$\zeta (7)={\frac {19}{56700}}\,\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}\,(e^{2\pi n}-1)}}$

という級数が知られている。アペリーの定理によると ζ(3) は無理数である（1978年、ロジェ・アペリ）。

級数との関係

ゼータ関数と級数の関係の視覚化。 黄色線はk=1...50に対する$k^{-s}$を表し、これらの連結は級数を表す。赤の破線は${\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s)$を表す。緑線はsの実数部を-0.5から1.5まで変化させたときの$\zeta (s)$の軌道を表す。オレンジの線は級数の軌道を表す。

ゼータ関数と級数の関係の視覚化。緑線はsの虚数部を0.01から10まで変化させたときの$\zeta (s)$の軌道を表す。

複素平面上で複素数はベクトルとして表され、和はベクトルの和で表される。このため級数

$\sum _{k=1}^{n}k^{-s}$

は $k=1..n$ に対する $k^{-s}$ を連結したものとなる。この図形は$n$が大きくなると、$\zeta (s)$を中心とする螺旋に漸近する。実際に$n$が大きいとき以下の近似式が成り立つ。

$\sum _{k=1}^{n}k^{-s}\approx {\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s)$

このことは $\zeta (s)$ が オイラー・マスケローニ定数の一般化とみなせることを示している。

$\mathrm {Re} (s)>1$ のとき、$n$を変化させたときの ${\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}$ が描く軌跡は原点に収束する螺旋となり、$\mathrm {Re} (s)=1$ のとき、原点を中心とする半径 ${\frac {1}{\mathrm {Im} (s)}}$ の円、$\mathrm {Re} (s)<1$ のとき、原点を中心として外に広がる螺旋となる。このために、級数は$\mathrm {Re} (s)>1$で$\zeta (s)$に収束し、それ以外の場合は「 $\zeta (s)$ を中心として」発散する。

$s=1+iy$ とし、$y$ を 0 に近づけると、$\zeta (s)$ の実数部はオイラー・マスケローニ定数に収束し、虚数部は$y$が正の方向から近づくとき$-\infty$、$y$が負の方向から近づくとき$\infty$ となる。

オイラー積

ゼータ関数と素数との最初の関連はオイラーによって示された。リーマンゼータ関数は、全ての素数 p に関する無限積である

$\zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

という形で表すことができる。これをオイラー積あるいはオイラー表示という。この無限積が sの実部Re(s) > 1 のときゼータ関数に絶対収束していることは、幾何級数（等比級数）の公式

${\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(p^{-s})^{n}=1+p^{\!-s}+p^{\!-2s}+\cdots$

が絶対収束すること（特に有限和のように分配法則が成り立つこと）に注意して、十分に大きな素数 p を固定し、それ以下の素数 p をわたる有限積を作り、その$p\to \infty$ とした極限を考えることで示すことができる。この部分有限積の展開について、自然数 n の最大素因数が p であれば、そこまでの有限積の中に n が含まれるため、上のようなゼータ関数のオイラー積表示が成り立っている。オイラー積 § ゼータ関数に対するオイラー積も参照。

オイラー積に基づく等式

２つのゼータ関数値の関係を表す、次の等式がある。

$\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},\quad \{s\mid s\in \mathbb {R^{+}} \}$

この等式は、次の通りオイラー積に基づく単純な式変形により導かれる。

$\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}{\frac {p^{s}-1}{p^{s}-1}}=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {1-p^{-2s}}{(1-p^{-s})^{2}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}$．

この等式の発見者について、オイラーは包括的なオイラー積の生みの親であるが、ラマヌジャンはs = 2の場合を発見していたとされる。

s = 2の場合、等式は次の通りである。

$\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}=\left({\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)^{2}/\left({\frac {\pi ^{4}}{90}}\right)={\frac {5}{2}}$．

s が正の偶数の場合、ゼータ関数の特殊値より、この等式の値は、ベルヌーイ数と整数階乗のみの計算となるため、結果的に有理数となる。

ゼータ関数の表示と関数等式

ゼータ関数は次のような表示も持つ：

$\zeta (s)=\exp \!\left({\frac {\gamma +\log \pi }{2}}\,s-\log 2\right){\frac {1}{s-1}}\,\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {s}{2n}}\right)e^{\!-{s/2n}}$

ここで ρ に関する積はリーマン・ゼータ関数の複素零点全体をわたるものとする。この式から、

$\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}$

は整関数であることが分かる。実際

$\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}=\gamma -\gamma _{1}(s-1)+\gamma _{2}(s-1)^{2}-\dots$

ここで γ はオイラーの定数、γ_i はスティルチェス定数と呼ばれているものである。オイラーは1749年に

$\zeta (s)(1-{2^{\,1-s}})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}$

という式を推測している。

またゼータ関数は、リーマンの1859年の論文『与えられた数より小さい素数の個数について』の中で

$\zeta (s)=2^{s}\,\pi ^{s-1}\,\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)$

という関数等式を持つことが示された。ここで Γ はガンマ関数である。これは複素解析的関数の解析接続が初めて明示的に行われた例である。

s = −2n （n は正の整数）を代入すると

$\zeta (-2n)=2^{-2n}\,\pi ^{\!-2n-1}\sin(-n\pi )\,\Gamma \!(1+2n)\zeta (1+2n)$

sin (−nπ) = 0 であり他の因子は有限値なので ζ(−2n) = 0 である。したがって −2n はゼータ関数の零点である。

次のように修正されたゼータ関数（これは実質的にリーマンによって導入され、完備化されたゼータ関数と呼ばれる）

$\xi (s)=\pi ^{\!-s/2}\,\,\Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\,\zeta (s)$

は s と 1 − s に関する以下のような対称的な関数等式を持つ：

$\xi (s)=\xi (1-s)$

（リーマンのクシー関数も参照。）

関数等式の導出

関数等式は以下のようにして求まる。ガンマ関数の定義と変数の置き換えにより

$\int _{0}^{\infty }x^{s \over 2}e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.$

$\mathrm {Re} (s)>1$であるならば、以下の式の和と積分を入れ替えることができる。

${\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}{\pi ^{s/2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }x^{s \over 2}e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }x^{s \over 2}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}.$

ここで $\psi (x):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}$ とおくと

$\zeta (s)={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int \limits _{0}^{\infty }x^{\frac {s}{2}}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}$

となる。ここで $f(x)=e^{-\pi x^{2}}$ とおくと、$f(x)$ はフーリエ変換に対し不変である。 ${\hat {f}}(y)=e^{-\pi y^{2}}$

また、フーリエ変換の定数倍の公式より、$g(x)=f(ax)$ のフーリエ変換は ${\hat {g}}(x)={\frac {1}{|a|}}f\left({\frac {x}{a}}\right)$ である。

よってポアソン和公式から以下が成り立つ。

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi \over x}}$

よって

$2\psi (x)+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}$

である。よって

$\pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}+\int _{1}^{\infty }x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}$

は以下の式と等しい。

$\int \limits _{0}^{1}x^{s \over 2}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,{\frac {dx}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}$

つまり

${1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int \limits _{0}^{1}x^{{s-1} \over 2}\psi \left({1 \over x}\right)\,{\frac {dx}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{{s} \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}$

よって

$\pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=-{1 \over {s({1-s})}}+\int \limits _{1}^{\infty }\left({x^{{1-s} \over 2}+x^{{s} \over 2}}\right)\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}$

この式はすべての$s$について収束する。また、右辺は$s$を$1-s$に変えても変化しないことから以下の等式が成り立つ。

$\pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)$

ガンマ関数の乗法公式および相反公式より

${\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)}}=2^{s}\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma (1-s)\cdot {\frac {\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}{\pi }}=2^{s}\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)$

よって

$\zeta (s)=2^{s}\,\pi ^{s-1}\,\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)$

ゼータ関数と数論的関数

ゼータ関数を適当に組み合わせることにより、様々な数論的関数を係数とするディリクレ級数の母関数を得ることができる。

たとえば、ゼータ関数の逆数はメビウス関数 μ(n) を用いて

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

と表せる。この式と ζ(2) の値から、分布が一様であるという仮定の下、任意に取り出した2つの整数が互いに素である確率は ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$ であることが証明できる。

自然数 n の（正の）約数の個数と全ての約数の和は、どちらも約数関数として定義され、それぞれ、d(n)、 σ(n) で表すことができる。このとき、

${\zeta (s)}^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}$
${\zeta (s)}\,{\zeta (s-1)}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}$

が成り立ち、また、n と互いに素な n 以下の自然数の個数を オイラーのφ関数 φ(n) で表すとき、

${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}$

なども成り立つ。

ゼータ関数と素数計数関数

以下に素数分布、すなわち素数計数関数 π(x) とゼータ関数との関係を述べる。

まずゼータ関数のオイラー積表示の両辺において対数をとり、テイラー展開で和の中の対数を展開する：

$\log \zeta (s)=\log \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{\!-s}}}=\sum _{p}\log {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{p}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np^{\,ns}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}$

ここで各 n ≥ 1 について

${\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx$

と変形して、先の式に代入すると

$\log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx=s\!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\int _{1}^{\infty }\!\!\pi (x^{1/n})\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x$

通常

$\Pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\pi (x^{1/n})$

と置いて、最終的に上式は次のように書かれる。

${\frac {\log \zeta (s)}{s}}=\int _{1}^{\infty }\!\!\Pi (x)\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x$

この公式に、メリン変換などと呼ばれる積分の反転公式を使うと、π(x) を表示する公式を求めることができる。この公式は、リーマンの素数公式、あるいは明示公式 (explicit formula) などと呼ばれている。なおメビウスの反転公式によって π(x) は

$\pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\,\Pi (x^{1/n})$

と書けることを注意しておこう。

ゼータ関数の零点の分布に関する未解決問題であるリーマン予想は、素数公式の近似精度に関連している。この予想は純粋数学における最も重要な未解決問題であると考える数学者は多い。

参考文献

• 本橋洋一、解析的整数論 I -- 素数分布論 --、朝倉書店、東京 2009. ISBN 978-4-254-11821-6
• Motohashi, Yoichi, "Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function". Cambridge University Press, 1997. ISBN 9780521445207
• Harold M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Dover Publications, 2001. ISBN 0486417409
• E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford University Press: USA, 2nd ed. (rev. by D. R. Heath-Brown), 1987. ISBN 0198533691
• 日本数学会 『岩波数学辞典（第3版）』 岩波書店、1985年。ISBN 4000800167
• 松本耕二 『リーマンのゼータ関数』 朝倉書店、2005年。ISBN 4254117310
• 小山信也 『素数とゼータ関数』 共立出版、2015年。ISBN 9784320112001

関連項目

• 他のゼータ関数
  • セルバーグゼータ関数
  • リーマンのクシー関数
  • フルヴィッツゼータ関数
• 合同ゼータ関数
• ゼータ関数正規化
• デデキントゼータ関数
• レオンハルト・オイラー - 元々は「オイラー・ゼータ関数」であった。
• 素数 - 素数分布と関係がある
  • 素数定理
• 解析的整数論
• ディリクレのL関数
• リーマン予想
• メビウス関数
• フェルマーの最終定理
• アペリーの定理

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function". MathWorld (英語).
• Weisstein, Eric W. "Zeta Function". MathWorld (英語).
• ゼータ関数の計算
• 月刊ゼータ：リーマンゼータ関数の非自明なゼロ点の虚数値 ISSN 2432-7050
• リーマンゼータ関数の最初の非自明なゼロ点1000000桁表 ISBN 978-4-87310-112-5
• 新しい関数の定義「ゼータワン関数」（ゼータdenominator-α関数）　https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12251869172.html