有理型関数

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数学において、有理型関数(ゆうりけいかんすう、meromorphic function)あるいは、関数有理型(ゆうりけい、meromorphic)であるとは、複素数平面あるいは連結リーマン面のある領域で定義され、その中で(仮性特異点)以外の特異点を持たない解析関数(特異点以外では正則な関数)のことを指す。

有理型関数は正則関数として表され、その分母となる正則関数の零点が元の有理型関数の極となる(分母は定数関数0にはならない)。

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多項式関数は正則であるから、例えばf(z) = \frac {z^3-2z+1} {z^5+3z-1}のような有理関数は全て有理型である。また、関数f(z) = \frac {\exp (z)} {z}f(z) = \frac {\sin (z)} {(z-1)^2}も有理型で、ガンマ関数リーマンのゼータ関数も同様である。

一方、対数関数f(z) = \ln (z)f(z) = \exp \left( \frac {1} {z} \right)は有理型でない。例えば後者はz = 0に真性特異点を持つ。

性質[編集]

  • 有界閉領域上で定義される有理型関数は、零点も極も有限個しか持たない。
  • 解析接続を使って除きうる特異点を解消してやれば、有理型関数同士で四則演算をとったものはやはり有理型である(勿論除法に関して、定数関数0で除することは除く)。従って、(同じ領域で定義される)有理型関数の全体の成す集合はを成す。この体は複素数体の拡大体である。

言い換え[編集]

リーマン面の言葉で言えば、有理型関数というのは、「リーマン球面への正則関数であって、常に\inftyの値をとる定数関数ではないもの」ということと同じである。このとき有理型関数の極とはリーマン球面の無限遠点\inftyへ移される複素数のことである。

関連項目[編集]