約数関数

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nの約数の個数を表す
σ0(n)≡d(n) のグラフ(n≦250)
nの約数の総和を表す
σ1(n)≡σ(n) のグラフ(n≦250)

約数関数(やくすうかんすう、: divisor function)は、自然数 n変数とする関数で、n の全ての約数を整数乗した数の総和を値にとるものである。

定義[編集]

約数関数 σx(n) は自然数 n の約数 dx 乗の総和を値として持つ関数であり、式では

のように表される。x = 0 のとき σ0(n) は n の約数の個数を表し、d(n)と表記されることもある。x = 1 のとき σ1(n) は n の約数の総和であり、単に σ(n) と表記する場合もある。

計算例と特徴[編集]

例えば n = 15 では d(15) = σ0(15) = 10 + 30 + 50 + 150 = 4, σ(15) = σ1(15) = 11 + 31 + 51 + 151 = 24, σ2(15) = 12 + 32 + 52 + 152 = 260

素数 p を変数とすると、p の約数は 1 と p の 2 個のみであるから d(p) = 2, σ(p) = p + 1 となる。また pn の約数は 1, p, p2, …, pnn + 1 個なので d(pn) = n + 1, σ(pn) = (pn + 1 - 1)/(p - 1) となる。

d(n) および σ(n) は n = 1 のとき最小値 1 をとる。d(n) = n の解は n = 1, 2 の 2 個のみであり、σ(n) = n の解や d(n) = σ(n) の解は n = 1 のみである。n ≧ 3 では 2 ≦ d(n) < n < σ(n) が成り立つ。

nを素因数分解して以下の式の形で表す。

ここで rn素因子の個数、pi はその中で i 番目に小さい素因子、ai は素因数分解で現れる各素因子の指数部である。ここから

が導かれる。これは

同値である。x = 0 のときは

となる。例えば n = pqp, q は素数)とすると、σ(n) = (1 + p)(1 + q) = n + p + q + 1, d(n)=(1 + 1)(1 + 1) = 4 となる。

  • 約数関数から導き出される数列 はその初期値によって異なる発散の仕方をする。( a1 = 1 を除く)
例. a1 = 2 のとき 2, 3, 4, 7, 8, 15, 24, 60, 168, 480, … (オンライン整数列大辞典の数列 A007497)
a1 = 5 のとき 5, 6, 12, 28, 56, 120, 360, 1170, 3276, … (オンライン整数列大辞典の数列 A051572)
a1 = 16 のとき 16, 31, 32, 63, 104, 210, 576, 1651, 1792, … (オンライン整数列大辞典の数列 A257349)
この初期値は 2, 5, 16, 19, 27, 29, 33, 49, 50, 52, 66, 81, 85, 105,… (オンライン整数列大辞典の数列 A257348)

その他の公式[編集]

約数関数は以下の三角関数を用いた式で表すこともできる。

またゼータ関数 ζ(s) とは

という関係式をもつ。

σ(n)の増加の割合は以下の式で表される。

γ はオイラー定数である。

また、d(n)の増加の割合は以下の式で表される。

実際、左辺の上極限記号内の分数の値が最大となるのは のときで、その値は であることが知られている[1]。 特に、任意の ε > 0 に対して、d(n) = o(nε) が成り立つ。

 (n > 5040)

が真であるならリーマン予想も真であることが証明されている。つまりこの不等式を満たさない最大の数が 5040 であり[2]、5041 以上の全ての自然数がこの不等式を満たすならばリーマン予想は真である。もしリーマン予想が偽ならこの不等式を満たさない n は無数に存在する。

約数関数の値[編集]

σ(n) < 2n を満たす n不足数、σ(n) = 2n を満たす n完全数、σ(n) > 2n を満たす n過剰数という。

6, 28, 496 などが完全数として知られている。偶数の完全数全体はメルセンヌ素数 2p - 1 に対して 2p - 1(2p - 1) と表されるもの全体と一致することが知られている。奇数の完全数が存在するかどうかは古くからの数論の未解決問題として有名である。

このほかにも、約数関数、特に約数の和の関数 σ(n) の値に関しては多くの概念が考察され、多くの未解決問題が提示されている。いくつかの例を挙げる。

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ J. L. Nicolas et G. Robin, Majorations explicites pour le nombre de diviseurs de $N$, Canad. Math. Bull. 26 (1983), 485--492.
  2. ^ σ(5040) = 19344, eγ ・ 5040 log log 5040 = 19237.84...