楔数

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楔数(くさびすう、: sphenic number)とは、相異なる 3 つの素数で表される自然数合成数)のことである。

例えば、66 は 2 × 3 × 11 と 3 つの相異なる素数の積に素因数分解されるので楔数である。楔数は無数に存在し、そのうち最小の数は最小の 3 つの素数 2, 3, 5 の積の 30 である。

楔数を 30 から小さい順に列挙すると

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231, 238, 246, 255, …(オンライン整数列大辞典の数列 A007304

性質[編集]

  • 楔数 n はそれぞれ相異なる素数 p, q, r を用いて n = pqr と表され、約数は 1, p, q, r, pq, qr, rp, pqr の 8 つのみである。
  • 楔数 n は 1 以外の平方数を約数に持たない(無平方数である)ので、 を満たす。ただし μ はメビウス関数である。
  • 2 つの連続する自然数がともに楔数であるような組のうち最小の組は (230, 231) である。(230 = 2 × 5 × 23, 231 = 3 × 7 × 11)
  • 3 つの連続する自然数が全て楔数で同様の組は (1309, 1310, 1311) である。(1309 = 7 × 11 × 17, 1310 = 2 × 5 × 131, 1311 = 3 × 19 × 23)
  • 4 つ以上の連続する自然数が全て楔数であるような組は存在しない。なぜならば、少なくとも一つは 4 の倍数、すなわち 22 を約数に持つ数であり楔数でないからである。
  • 楔数は 1 から 100 までは 5 個、1 から 1000 までは 135 個、1 から 10000 までは 1800 個ある。
  • 楔数のうち三角数である数は 66, 78, 105, 190, 231, 406, 435, 465, 561, 595, …(オンライン整数列大辞典の数列 A128896

外部リンク[編集]