過剰数

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過剰数(かじょうすう、: abundant number)とは、その約数総和が元の数の 2 倍より大きい自然数のことである。この過剰数の定義は「その数自身を除く約数の総和が元の数より大きくなるような数」と同値である。

例えば、20 の約数の総和は 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42 > 20×2 であるので 20 は過剰数である。もしくは「20 の自身を除く約数の総和は 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 > 20 であるので 20 は過剰数」と考えてもよい。約数関数を用いると σ(n) > 2n を満たす n が過剰数である。過剰数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小の数は 12 である。

過剰数を 12 から小さい順に列記すると

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …(オンライン整数列大辞典の数列 A005101

奇数の過剰数のうち最小の数は 945 である(σ(945) = 1920 > 945×2)。過剰数もしくは完全数倍数は全て過剰数であり、したがって偶数の過剰数も奇数の過剰数も無数に存在する。また、全ての擬似完全数は完全数もしくは過剰数である。ほとんどの過剰数は擬似完全数でもあり、そうでない過剰数は不思議数と呼ばれる。

σ(n) = 2n + 1 を満たす n は過剰数であり、準完全数と呼ばれる。準完全数はいまだに見つかっておらず、もし存在するならば奇数の平方数で 1035 より大きく、少なくとも 7 つの相異なる素因数を持つことが分かっている。

自然数のうち過剰数が占める割合は 0.2474 から 0.2480 の間であると証明されている。

20161 より大きい整数は 2 つの過剰数の和で表すことができる。

20 が過剰数なので、その倍数つまり下 2 桁が 00, 20, 40, 60, 80 である数は全て過剰数となる。

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