高度合成数

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番目 高度合成数 約数の個数
1 1 1
2 2 2
3 4 3
4 6 4
5 12 6
6 24 8
7 36 9
8 48 10
9 60 12
10 120 16
11 180 18
12 240 20
13 360 24
14 720 30
15 840 32
16 1260 36
17 1680 40
18 2520 48
19 5040 60
20 7560 64
21 10080 72
22 15120 80
23 20160 84
24 25200 90
25 27720 96
26 45360 100
27 50400 108
28 55440 120
29 83160 128
30 110880 144

高度合成数(こうどごうせいすう、: highly composite number)とは、自然数で、それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものをいう。

1から順に高度合成数を表すと

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680,…(オンライン整数列大辞典の数列 A002182)

例えば24は約数を(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)と8個持ち、24未満で約数を8個以上持つ自然数は存在しないので、高度合成数である。なお1と2は合成数ではないが、高度合成数に含める。

クイゼネールロッド英語版を用いた最初の4つの高度合成数1, 2, 4, 6のデモンストレーション

素因数分解との関係[編集]

約数の個数素因数分解で求まる。例えば 15120 = 24 × 33 × 5 × 7 であるから、約数の個数は (4+1) × (3+1) × (1+1) × (1+1) = 80 個である。

概要[編集]

高度合成数の概念は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。

明らかに高度合成数は無限に存在する。というのも、正整数の正の約数の個数はいくらでも大きくなりうるためである。

高度合成数は

という形で素因数分解され、

を満たす数である (p(b)は 2 から数えてb番目の素数)。

また素因数には 2 から p(b) までの全ての素数を含む。

なお 4 と 36 以外の高度合成数では ap= 1 である。

したがって高度合成数のうち平方数436 のみであり、それ以外の累乗数は高度合成数にはなりえる

大雑把に言って、ある数が高度合成数になるには、できるだけ小さな素因数を持ち、しかも同じものを多く持ち過ぎない点を必要とする。

例えば 18 = 2×3×3 は、12 = 2×2×3 より大きく、しかも同じ数の約数しか持たないので高度合成数ではない。

しかし、同じ素因数を多く持つと約数の数は比較的少なくなる。

例えば、8 = 2×2×2 は 6 = 2×3 より大きく、同じ数の約数しか持たないので高度合成数にはならない。

高度合成数は、伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ(例:時間の24や 60、角度の360、ダース12 など)、また工学的な設計によく使われる。

これは除算を含む計算が簡単に行える利点による。

Q(x) で x 以下の高度合成数の個数を表すと、1 より大きな定数 a, b が存在して

(loge x)aQ(x) ≤ (loge x)b

が成り立つ。

関連項目[編集]