倍数

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数学において、数 a倍数(ばいすう、:multiple)とは、a整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、

… −3a, −2a , −a, 0, a, 2a, 3a, …

を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。

a を整数に限ると、a の倍数とは「a で割り切れる整数」のことであり、a約数(「a を割り切る整数」)と対比されることも多いが、倍数は a が整数でなくても定義できる。

倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、

0, ±a, ±2a, ±3a, …

と表すこともある。とくに a が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は(正の)倍数として

a, 2a, 3a, …

だけを考えることも多い。

整数全体からなる集合 を用いると、a の倍数は である。

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整数の倍数
番号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
01の倍数 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
02の倍数 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20
03の倍数 03 06 09 12 15 18 21 24 27 30
04の倍数 04 08 12 16 20 24 28 32 36 40
05の倍数 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50
06の倍数 06 12 18 24 30 36 42 48 54 60
07の倍数 07 14 21 28 35 42 49 56 63 70
08の倍数 08 16 24 32 40 48 56 64 72 80
09の倍数 09 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10の倍数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
  • 2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, …
  • 3 の倍数は 0, ±3, ±6, ±9, ±12, …
  • 121, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもある。
    • 12 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 であることによる。

数学的性質[編集]

整数に関する性質[編集]

  • 0 だけ倍数の個数が有限(0 のみ)である。(したがって 0 の倍数を考えることはあまり意味がない)
  • 0 は全ての数の倍数である。
  • 全ての整数は 1−1 の倍数である。
  • すべての数は自分自身の倍数である。
  • 偶数とは 2 の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数ので表せる数」とも定義できるが、この定義は 2 の倍数であることと同値である。
  • a が整数のとき、Na の倍数であることは、aN約数であることと同じ意味である。
  • 整数 a, b に対して、ba で割り切れることと、b の倍数が a の倍数に含まれることは同値である。すなわち、
  • 2 以上の整数はある素数の倍数である。
  • 素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しい。
(→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ
  • a の倍数かつ b の倍数であるものを ab公倍数という(3個以上の場合でも同様)。abab の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
    • ab の公倍数は ab の最小公倍数の倍数である。
  • a の倍数の倍数は a の倍数である。
  • P, Q が 共に a の倍数ならば、kP + lQk, l は整数)は共に a の倍数である。
    • 特に、P ± Qa の倍数である
  • 有理整数環 二項関係 で定義すると、これは同値関係になる。

倍数判定法[編集]

十進法表記された整数の倍数判定法がいくつか存在する。

  • 一の位が偶数(つまり 0, 2, 4, 6, 8)ならば、その数は 2 の倍数である。
  • 各桁の数の和(数字和)が 3 の倍数ならば、その数は 3 の倍数である。
  • 下(しも)二桁が 4 の倍数(つまり 00, 04, 08, 12, … , 96)ならば、その数は 4 の倍数である。
  • 一の位が 5 の倍数(つまり 0 , 5)ならば、その数は 5 の倍数である。
  • 下三桁が 8 の倍数(つまり 000, 008, 016, 024, … , 992)ならば、その数は 8 の倍数である。
  • 数字和が 9 の倍数ならば、その数は 9 の倍数である。
  • 一の位が 0 ならば、その数は 10 の倍数である。
  • 下(しも)の桁から数えて奇数番目の位の総和と偶数番目の位の総和の差が 11 の倍数ならば、その数は 11 の倍数である。
  • 下二桁が 25 の倍数(つまり 00, 25, 50, 75)ならば、その数は 25 の倍数である。
  • 下三桁が 125 の倍数(つまり 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875)ならば、その数は 125 の倍数である。
  • これ以外にも先述の倍数判定法を組み合わせることによってあらゆる整数の倍数を判定することができる。いくつかの例を下に示す。
    • 2の倍数判定法と3の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 6 の倍数である。
    • 4の倍数判定法と5の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 20 の倍数である。
    • 8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 792 の倍数である。

関連項目[編集]