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公倍数(こうばいすう)とは、2つ以上の整数に共通な倍数。例えば、
と
の公倍数は-18,-12,-6,0,6,12,18などである。ただし、算数では、倍数に
を含めないので、公倍数にも
を含めない。
公倍数のうち、正で最小のものを最小公倍数という。上の例でいうと、
と
の最小公倍数は
である。
与えられた2つ(以上)の数に対し、それら全てを掛け合わせたものは、それらの数の公倍数になるが、最小公倍数になるとは限らない。例えば、
と
の最小公倍数は
であるが、
である。
ある2つ以上の整数の公倍数は無限に存在する。例えば、
と
の公倍数は-30,-15,0,15,30となり、15の倍数になっていることがわかる。(ある与えられた数の倍数は無限に存在する。)
二つの整数
の公倍数とは、
の倍数全体の集合
は整数全体を動く
、
の倍数全体の集合
は整数全体を動く
の集合の共通部分
に属する整数のことである。
はある整数
を用いて
は整数全体を動く
の形に表すことができる。このような
は正と負の2つが存在し、正の方を
と
の最小公倍数という。これらの概念は
が正の整数のとき、既に定義したものと一致する。
この定義に現れる「整数」を一般の「単項イデアル整域の元」に取り替えても、全く同様の概念として公倍元・最小公倍元を定義できる。一般の環では、公倍元は定義できるが最小公倍元の存在は必ずしもいえない。