六進法
六進法(ろくしんほう。英:senary。独:Sechsersystem)とは、6 を底とし、底およびその冪を基準に数を表す方法である。英語名の"senary"は、ラテン語で「六個一組」を意味する"senarius"に因む。
目次
記数法[編集]
整数[編集]
六進記数法とは、六を底とする位取り記数法である。慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数で表記し、六進記数法の表記は括弧および下付の 6 で表す。六進記数法で表された数を六進数と呼ぶ。
通常は、0, 1, 2, 3, 4, 5 の計 6 個の数字を用い、六を 10、七を 11、八を 12 …と表記する。即ち、「5 + 1 = 10」が六進法の基本である。右端あるいは小数点で 1 の桁を表す。数字の意味する数は、左に一桁動くと 6 倍になり、右に一桁動くと 1/6 になる。従って、整数第二位は「六の位」、整数第三位は「三十六の位」、小数第一位は「六分の一の位」、小数第二位は「三十六分の一の位」になる。
(14)6 という表記において、左の「1」は六を表し、右の「4」は四を表し、合わせて「十」を表す。
| 六進法 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 30 | 31 | 32 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 十進法 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 十二進法 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| 六進法 | 33 | 34 | 35 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 100 | 101 | 102 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 十進法 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |
| 十二進法 | 19 | 1A | 1B | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 2A | 2B | 30 | 31 | 32 |
| 六進法 | 240 | 241 | 242 | 243 | 244 | 245 | 250 | ~ | 352 | 353 | 354 | 355 | 400 | 401 | 402 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 十進法 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | ~ | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 |
| 十二進法 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | ~ | B8 | B9 | BA | BB | 100 | 101 | 102 |
六進記数法での整数は:
- 100以下
- (13)6 = 9 (1×61 + 3)
- (20)6 = 12 (2×61)
- (32)6 = 20 (3×61 + 2)
- (43)6 = 27 (4×61 + 3)
- (50)6 = 30 (5×61)
- (100)6 = 36 (1×62)
- 101~1000
- (132)6 = 56 (1×62 + 3×61 + 2)
- (243)6 = 99 (2×62 + 4×61 + 3)
- (300)6 = 108 (3×62)
- (352)6 = 140 (3×62 + 5×61 + 2)
- (500)6 = 180 (5×62)
- (1000)6 = 216 (1×63)
- 1001以上
- (2145)6 = 497 (2×63 + 1×62 + 4×61 + 5)
- (4344)6 = 1000 (4×63 + 3×62 + 4×61 + 4)
- (10000)6 = 1296 (1×64)
- (13000)6 = 1944 (1×64 + 3×63)
- (13132)6 = 2000 (1×64 + 3×63 + 1×62 + 3×61 + 2)
を、それぞれ意味する。
小数も同じく:
- (0.1)6 = 1/6 (1×6-1)
- (0.01)6 = 1/36 (1×6-2)
- (0.14)6 = 10/36 (1×6-1 + 4×6-2)
- (0.43)6 = 27/36 (4×6-1 + 3×6-2)
- (0.001)6 = 1/216 (1×6-3)
- (0.205)6 = 77/216 (2×6-1 + 0×6-2 + 5×6-3)
- (0.332)6 = 128/216 (3×6-1 + 3×6-2 + 2×6-3)
を、それぞれ意味する。
例えば、十進法の「2001年9月11日」は、六進法では「13133年13月15日」と表記される。同じく、十進法の「15時36分」は、六進法では「23時100分」と表記される。
整数の四則演算の数式も、以下のようになる。
- 十進法→六進法
- 十進法の 5 + 5 = 10 → 六進法では 5 + 5 = 14
- 十進法の 99 + 9 = 108 → 六進法では 243 + 13 = 300
- 十進法の 2000 - 56 = 1944 → 六進法では 13132 - 132 = 13000
- 十進法の 9 × 4 = 36 → 六進法では 13 × 4 = 100
- 十進法の 27 × 8 = 216 → 六進法では 43 × 12 = 1000
- 十進法の 216 ÷ 2 = 108 → 六進法では 1000 ÷ 2 = 300
- 十二進法→六進法
- 十二進法の 100 - 4 = B8 → 六進法では 400 - 4 = 352(十進法では 144 - 4 = 140)
- 十二進法の 100 × 9 = 900 → 六進法では 400 × 13 = 10000(十進法では 144 × 9 = 1296)
- 十二進法の 1000 ÷ 2 = 600 → 六進法では 12000 ÷ 2 = 4000(十進法では 1728 ÷ 2 = 864)
- 六進法→十進法
ここで重要な点は、「5+5も5×2も14」「1000÷2が300」「9の4倍が100」「500÷4が113」である。つまり、六進法では、10の半分が3であるという点である。このため、32×22(つまり9の4倍)も100になり、33×23(つまり十進法換算で27×8)も1000になる。
六進記数法が用いられる分野では、サイコロなど六個一組で構成される物が代表的である。サイコロを用いた計算では、「2の3倍が10」として割合を算出するので、三十五が「55」、二百十五が「555」というように、「6の累乗数-1」が5のゾロ目になる。そして、上記に挙げられる通り十を「14」「六四」、十二を「20」「二六」、二十七を「43」「四六三」として数える。
また、バスケットボールのNCAA(全米大学体育協会)では、背番号は六進記数法で、二桁の55までとしている。これは、審判が反則を判定する際に、選手の識別を容易にするためである。
累乗数の換算表[編集]
以下の表に、六進数で表記した六の累乗数と、それを十進数(底が五の二倍)と十二進数(底が三の四倍)に換算した数値を掲載する。六進数は底が三の二倍で、十進数と同じく「底が奇数の二倍」であるが、桁の繰り上がりが速く、六十に満たない三十六で三桁に達し(十進数より三倍速く、十二進数より四倍速い)、1周たる三百六十に満たない3/5周=二百十六で四桁に達する(十進数より五倍速く、十二進数より八倍速い。(1000)6=(216)10 , (1000)12=(12000)6)。小数化すると「八分のm」になる三桁整数も、十進数では53=(125)10が「八分の一」に対して、六進数では33×5=(135)10=(343)6が「八分の五」になる。なお、十二進数は2/5周=百四十四で三桁に達する。
| 指数 | 六進数 | 十進数に換算 | 十二進数に換算 |
|---|---|---|---|
| 1乗 | 10 | 6 | 6 |
| 2乗 | 100 | 36 | 30 |
| 3乗 | 1000 | 216 | 160 |
| 4乗 | 1 0000 | 1296 | 900 |
| 5乗 | 10 0000 | 7776 | 4600 |
| (10乗)6 = (6乗)10 | 100 0000 | 4 6656 | 2 3000 |
| (11乗)6 = (7乗)10 | 1000 0000 | 27 9936 | 11 6000 |
| (12乗)6 = (8乗)10 | 1 0000 0000 | 167 9616 | 69 0000 |
| (13乗)6 = (9乗)10 | 10 0000 0000 | 1007 7696 | 346 0000 |
| (14乗)6 = (10乗)10 | 100 0000 0000 | 6046 6176 | 1830 0000 |
| (15乗)6 = (11乗)10 | 1000 0000 0000 | 3 6279 7056 | A160 0000 |
| (20乗)6 = (12乗)10 | 1 0000 0000 0000 | 21 7678 2336 | 5 0900 0000 |
| -1乗 | 0.1 | 1/6 | 0.2 |
| -2乗 | 0.01 | 1/36 | 0.04 |
| -3乗 | 0.001 | 1/216 | 0.008 |
| -4乗 | 0.0001 | 1/1296 | 0.0014 |
別のN進数との関係[編集]
十二進数との関係[編集]
六進数と十二進数を対比すると、以下のような関係が見られる。
- 整数
- 六進数が「m×10n」になると、十二進数は「(m/2n)×10n」になる。
- 十二進数が「m×10n」になると、六進数は「m×2n×10n」になる。
例として、倍数mを5、冪指数nを2とする。
- 六進数の500 = 十二進数の130
- 十進数で分解すると、六進数では5×62 = 5×36 = 180 = (500)6だが、十二進数では(5/22)×122 = (5/4)×144 = 180 = (130)12となる。つまり、2乗数の意味が、六進数での5倍が、十二進数では5÷22で5/4になる。
- 十二進数の500 = 六進数の3200
- 十進数で分解すると、十二進数では5×122 = 5×144 = 720 = (500)12だが、六進数では5×22×62 = 20×36 = 720 = (3200)6となる。 つまり、2乗数の意味が、十二進数での5倍が、六進数では5×22で20倍になる。
次は、倍数mを1、冪指数nを3とする。
- 十二進数の1000 = 六進数の12000
- どちらも(1728)10だが、十二進数は123で(1000)12に対して、六進数は23×63 = 8×216で(12000)6となり、(12)6 = 8 = 23 である。「桁の繰り上がりが、3乗レベルで六進数は十二進数より8倍速い」のはこれによる。
この他には、以下のような関係もある。
- 六進数の10000 = 十二進数の900
- どちらも(1296)10だが、十二進数が2乗数の9倍に達した時点で、六進数は4乗数になる。これは、(1296)10を十進数で分解すると、144×9 = 36×4×9 = 36×36 となるためである。
- 同じく冪指数を用いて分解すると、122×32 = 62×22×32 = 62×62 = 64 となる。
- 小数
(1)10-nの小数
- 六進数が「10-n」になると、十二進数は「2n×10-n」の小数になる。この時の十二進数の分母は、六進数の2n倍の数値である。
- 十二進数が「10-n」になると、六進数は「3n102×n」の小数となる。この時の六進数の分母は、十二進数の3n倍の数値である。
(例)冪指数が-3
- 六進数の0.001 = 十二進数の0.008
- 十進数で分解すると、六進数では 1216 = 163= 0.001 だが、十二進数では 81728 = 2363×23 = 0.008 となる。
- 小数第三位では、六進数の0.001(10-3)は、十二進数では8倍で0.008(23×10-3)の小数になる。つまり、小数第三位だと、十二進数の小数は、分子・分母とも六進数の8倍(23倍)になる。
- 十二進数の0.001 = 六進数の0.000043
- 十進数で分解すると、十二進数では 11728 = 1123 = 0.001 だが、六進数では 2746656 = 3362×3 = 0.000043 となる。
- 小数第三位では、十二進数の0.001(1103)は、六進数では1/8で 0.000043 となり、分子の数値が27(33)、分母が十二進数の27倍(33倍)で46656(1000000(6)=23000(12))になる。(※ 27(10)=43(6)=23(12))
(2)3-n の小数
3-n の小数とその分母は、十進表記で、六進数はそのまま 2n6n となるのに対して、十二進数は 22×n12n となる。つまり、3-nの小数は、十二進数だと、分子が六進数の2乗、分母が六進数の2n倍となる。
- 六進数の 0.012 = 十二進数の 0.054(冪指数は-3 = 二十七分の一)
- 十進数で分解すると、六進数では 3-3 = 0.012(6) = 8216 = 2363 となるが、十二進数では 3-3 = 0.054(12) = 641728 = 22×3123 となる。
- 3-3の小数で、分子となる小数の数値は、六進数が8(=12(6))に対して、十二進数は82=64(=54(12))となる。分母の数値も、六進数が216に対して、十二進数はその8倍(23)で1728(1000(12)=12000(6))になる。
- 六進数の 0.0024 = 十二進数の 0.0194(冪指数は-4 = 八十一分の一)
- 十進数で分解すると、六進数では 3-4 = 0.0024(6) = 161296 = 2464 となるが、十二進数では 3-4 = 0.0194(12) = 25620736 = 22×4124 となる。
- 3-4の小数は、分子となる小数の数値は、六進数が16(=24(6))に対して、十二進数は162=256(=194(12))となる。分母の数値も、六進数が1296に対して、十二進数はその16倍(24)で20736(10000(12)=240000(6))になる。
十進数との関係[編集]
前述の通り、六進法では「5+1 = 10」「10÷2 = 3」となるので、十進法と比べた時に、5と3の立場が逆転するだけではなく、5と9(=32)の立場も逆転する。つまり、六進法では3とその冪数が優位に登り、5とその冪数は劣位に落ちる。
- 5と3が逆転する例
- 六進数では、11(七)以後の素数は、一の位が1か5のどれかである。一の位が3ならば3の倍数であり、素数にはならない。
- 後述する3/8の小数は、十進法では0.375、六進法では0.213となるが、小数点を消した375(10)と213(6)は、八倍(×23)すると 3000 でも、十六倍(×24)すると375(10)は 10000 にならないが、213(6)は 10000 になる。
これは、375(10) = 5×5×5×3 = 53×3 に対して、213(6) = 3×3×3×3 = 34 だからである。- 十進法:375×16 = 6000(六進法に換算:1423×24 = 43440 = 143×10)
- 六進法:213×24 = 10000(十進法に換算:81×16 = 1296 = 64)
- 5と9が逆転する例
- 乗算表は「九九・八十一」ではなく「五五・四六一」という呼び方になるが、五の段は「一の位」と「六の位」の和が5になる。また、5の倍数は、各位の数の和も5の倍数になる。
- 3の冪数は一の位も3になり、「100の1/4」と「100の3/4」は両方とも3の冪数になる上に、「100のm/4」となる整数は全て9の倍数である。100×(1/4)=13=32=9(10)、100×(2/4)=30=32×2=18(10)、100×(3/4)=43=33=27(10)、100=32×22=36(10)となる。
- 整数を単位分数にすると、二十五分の一は割り切れないが、九分の一、二十七分の一、八十一分の一は全て割り切れる小数になる(→小数表も参照すること)。
小数と除算[編集]
六進法では 0.1 が六つ集まると 1 になるので、0.1が1/6となり、0.3が1/2となり、0.2が1/3となり、1/3は割り切れる小数になる。小数の位数も、0.1が「六分の一」に続いて、0.01は「三十六分の一」、0.001は「二百十六分の一」となる。
計算例[編集]
- 0.5+0.1 と 1-0.1
六進法の小数は、0.5+0.1 の和が 1 となる。
- 六進法:0.5 + 0.1 = 1
- 六進法:1 - 0.1 = 0.5
- 2×3 と 「10」÷3
六進法では、2の3倍が「10」となるので、10÷3 の商も 2 となる。
- 六進法:2 × 3 = 10(十進法で意訳:2の 3倍 は6)
- 六進法:10 ÷ 3 = 2(十進法で意訳:6の 1/3 は2)
- 3 ÷ 8
打率や勝率の計算をサイコロと同じく六進法にすると、十進法の「3割7分5厘」「(375)10÷(1000)10」は、十進法による「千分率」(= (10-3)10) を、六進法による「二百十六分率」(= 6-3) に換算した値になる。
- 十進法:3 ÷ 8 = 0.375
- 六進法:3 ÷ (12)6 = (0.213)6
上記の六進法の商を十進法に換算すると、(213)6 = 2×62 + 1×61 + 3 = 81 となる。(81/216)10 と (375/1000)10 は同じ値で、共に約分すると 3/8 となる。また、十進法の「3割7分5厘」を、そのまま六進法の「割分厘」に言い換えると「2割1分3厘」となるが、六進法の割分厘では、1割は(1/6)10、1分は(1/36)10、1厘は(1/216)10となる。
十進法では 1/3 メートルが割り切れずに「100 ÷ 3 = 33.3333… センチメートル」「1/3 メートル = 333.3333… ミリメートル」になってしまうが、六進法では割り切れる。
六進法では、(100)10 センチメートルは (244)6 センチメートルと表記され、1/3 メートルは「244 ÷ 3 = 53.2 センチメートル」となる。同じく、六進法では 1/6 メートルも 1/9 メートルも割り切れ、1/6 メートルは「24.4 センチメートル」、1/9 メートルは「15.04 センチメートル」と表記される。同じく、(1000)10 メートルは (4344)6 センチメートル となる。つまり、十の累乗数を六進数に直せば、1/3(= 3-1)も1/9(= 3-2)も割り切れる。
- 百の1/3
- 十進法:100 ÷ 3 = 33.3333… センチメートル
- 六進法:(244)6 ÷ 3 = (53.2)6 センチメートル
- 千の1/3
- 十進法:1000 ÷ 3 = 333.3333… ミリメートル
- 六進法:(4344)6 ÷ 3 = (1313.2)6 ミリメートル
- 千の1/9
- 十進法:1000 ÷ 9 = 111.1111… ミリメートル
- 六進法:(4344)6 ÷ (13)6 = (303.04)6 ミリメートル
- 百の2/3
- 十進法:100 × (2/3) = 66.6666… センチメートル
- 六進法:(244)6 × (2/3) = (150.4)6 センチメートル
- 千の2/3
- 十進法:1000 × (2/3) = 666.6666… ミリメートル
- 六進法:(4344)6 × (2/3) = (3030.4)6 ミリメートル
分数と小数の変換[編集]
分数を六進法の小数に変換すると、「二分の一」と「三分の一」が小数第一位、「四分の一」と「九分の一」が小数第二位、「八分の一」と「二十七分の一」が小数第三位となる。つまり、2-nと3-nがそのまま「小数第n位」になる。
- 小数第一位
- 1/2 = 0.3
- 1/3 = 0.2
- 2/3 = 0.4
- 小数第二位
- 小数第三位
従って、様々な小数は、以下のように変換される。
- 十進法の 56.25 → 六進法では 132.13
- 十進法の 100.75 → 六進法では 244.43
- 八進法で「100÷3=25.2525…」となる「21と1/3」10 → 六進法では 33.2
- 九進法で「100÷2=44.4444…」となる「40と1/2」10 → 六進法では 104.3
- 十進法で「1000×(4/9)=444.4444…」となる「444と4/9」10 → 六進法では 2020.24
小数表[編集]
割り切れない小数の循環節は下線で示す。六は三では割り切れるが五では割り切れないので、五で割った際に循環小数になる例が多数現れる。六進法の除算の特筆すべき点として、一桁の整数のうち、単位分数にすると割り切れない数は五だけである。六は二と三で割り切れる最小の数なので、三の累乗数である九(六進法では13)や二十七(六進法では43)でも循環小数にならずに割り切れ、小数化すると割り切れない分数はかなり少なくなる。又、六と十は単偶数なので、二分割を繰り返した際の小数の末尾には、十だと5が来るが、六だと3が来る。即ち、六進法と十進法は、3と5の立場が逆転する事になる。
3と5の立場が逆転する例として、十進法では十(10 = 5×2)の累乗数を3で割ると、3が無限に続く循環小数になるのに対して、六進法では六(10 = 3×2)の累乗数を十で割ると、3が無限に続く循環小数になる。
| 除数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 (六) | 11 (七) | 12 (八) | 13 (九) | 14 (十) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 被除数が1 | 0.3 | 0.2 | 0.13 | 0.1111… | 0.1 | 0.0505… | 0.043 | 0.04 | 0.0333… |
| 被除数が4 | 2 | 1.2 | 1 | 0.4444… | 0.4 | 0.3232… | 0.3 | 0.24 | 0.2222… |
| 被除数が10 (十進法の6) |
3 | 2 | 1.3 | 1.1111… | 1 | 0.50505… | 0.43 | 0.4 | 0.3333… |
| 被除数が14 (十進法の10) |
5 | 3.2 | 2.3 | 2 | 1.4 | 1.2323… | 1.13 | 1.04 | 1 |
| 被除数が25 (十進法の17) |
12.3 | 5.4 | 4.13 | 3.2222… | 2.5 | 2.2323… | 2.043 | 1.52 | 1.4111… |
| 被除数が50 (十進法の30) |
23 | 14 | 11.3 | 10 | 5 | 4.1414… | 3.43 | 3.2 | 3 |
| 被除数が100 (十進法の36) |
30 | 20 | 13 | 11.1111… | 10 | 5.0505… | 4.3 | 4 | 3.3333… |
| 被除数が140 (十進法の60) |
50 | 32 | 23 | 20 | 14 | 12.3232… | 11.3 | 10.4 | 10 |
| 被除数が244 (十進法の100) |
122 | 53.2 | 41 | 32 | 24.4 | 22.1414… | 20.3 | 15.04 | 14 |
| 被除数が1000 (十進法の216) |
300 | 200 | 130 | 111.1111… | 100 | 50.50505… | 43 | 40 | 33.3333… |
| 被除数が1104 (十進法の256) |
332 | 221.2 | 144 | 123.1111… | 110.4 | 100.3232… | 52 | 44.24 | 41.3333… |
| 被除数が4344 (十進法の1000) |
2152 | 1313.2 | 1054 | 532 | 434.4 | 354.50505… | 325 | 303.04 | 244 |
| 分数 | 1/2(= 2/4) | 1/3 | 2/3 | 1/4 | 3/4 | 1/5 | 2/5 | 3/5 | 4/5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 六進法 | 0.3 | 0.2 | 0.4 | 0.13 | 0.43 | 0.1111… | 0.2222… | 0.3333… | 0.4444… |
| 十進法 | 0.5 | 0.3333… | 0.6666… | 0.25 | 0.75 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 |
| 冪指数 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -10 (-610) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 底が2 | 0.3 (1/2) |
0.13 (1/4) |
0.043 (1/12 = 1/810) |
0.0213 (1/24 = 1/1610) |
0.01043 (1/52 = 1/3210) |
0.003213 (1/144 = 1/6410) |
| 底が3 | 0.2 (1/3) |
0.04 (1/13 = 1/910) |
0.012 (1/43 = 1/2710) |
0.0024 (1/213 = 1/8110) |
0.00052 (1/1043 = 1/24310) |
0.000144 (1/3213 = 1/72910) |
計算表[編集]
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 10 | 12 | 14 |
| 3 | 0 | 3 | 10 | 13 | 20 | 23 |
| 4 | 0 | 4 | 12 | 20 | 24 | 32 |
| 5 | 0 | 5 | 14 | 23 | 32 | 41 |
| 乗数 | 101 | 101の十進表記 | 102 | 102の十進表記 | 103 | 103の十進表記 | 104 | 104の十進表記 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10 | 6 | 100 | 36 | 1000 | 216 | 10000 | 1296 |
| 2 | 20 | 12 | 200 | 72 | 2000 | 432 | 20000 | 2592 |
| 3 | 30 | 18 | 300 | 108 | 3000 | 648 | 30000 | 3888 |
| 4 | 40 | 24 | 400 | 144 | 4000 | 864 | 40000 | 5184 |
| 5 | 50 | 30 | 500 | 180 | 5000 | 1080 | 50000 | 6480 |
命数法[編集]
六進命数法とは、6 を底とする命数法である。
数詞[編集]
自然言語で六進命数法の数詞を持つものは少ない。ニューギニア島近くのフレデリク・ヘンドリク島のンドム語[1] (Ndom) が六進法の数詞を持つと報告されている[2]。ンドム語では、 mer が 6、 mer an thef が 12 (6 × 2)、 nif が 36 (62)、 nif thef が 72 (62 × 2) を意味する。
この他には、パプアニューギニアのヤム語(en:Yam languages)やコムンゾ語が(en:Kómnzo language)が六進法を使用しており、六の累乗数にも個別の数詞が付けられている。コムンゾ語で六の累乗数を意味する数詞として、nimbo (6), féta (36 = 62), tarumba (216 = 63), ntamno (1296 = 64), wärämäkä (7776 = 65), wi (46656 = 66) がある。
語彙[編集]
六が底になった由来として、空間の基本的な方角が六つである事(2 面 × 3 次元 = 6。上下・左右・前後)が挙げられる。
日本語には、「十→百」という十進法が主流とされる中で、「6→36」という六進法に基づく語彙や名数が存在している。例として、全ての方角を指して「六合」「六方」(= 61) と呼んだり、全ての景色を指して「三十六景」「三十六峰」(= 62) というように、空間や方角に関する語彙に六進法が用いられている。歌仙も「六歌仙」(= 61) や「三十六歌仙」(= 62) というように、6の累乗で数えられている。これらの数え方は、十進法が「十指の二乗で百」に対して、六進法は「六面の二乗で三十六」という発想に基づいている。
単位系[編集]
六進法は、まれに単位系で使われることがある。尺貫法では、1 間は 6 尺である。
指数え[編集]
六進法の指数えは、左手で六の位、右手で一の位を数えて、三十五((55)6:六進命数法だと「五六五」)まで数える方法である。例えば、左手に「三」と右手に「四」で、合わせて (34)6 = (22)10 を意味する。
更に、漸増的な数え方だけではなく、分割的な数え方も可能である。これは、十指で可能な「(10)6 + 3 = (13)6」(十進表記:6+3 = 9)や「(10)6 ÷ 3 = 2」(十進表記:6÷3 = 2)を応用して、三十六または一を被除数にして計算する方法である。この場合、2のp乗、3のp乗、6×mというように段階に分ける。例えば、「(100)6 ÷ (13)6 = 4」(十進表記:36÷9 = 4)や「1÷(13)6 = (0.04)6」(十進表記:1÷9 = 4/36)は、「(10)6 ÷ 3 = 2」の動作を左手で一回、更に右手でもう一回行なって完了する。
長短[編集]
六進法は十進法と同じ単偶数進法であるが、長所と短所は他の「奇数×偶数」によるN進法{十進法 (5×2)、十二進法 (3×4)、二十進法 (5×4)}とは対照的になっている。
- 短所
- すぐに桁が繰り上がる
- 最も頻繁に挙がる六進法の短所として、「すぐに桁が繰り上がる」性質が挙げられる。六進法では、六の累乗数で桁が繰り上がるので、三十六で100、二百十六で1000となる。このため、1から5までの全てで割り切れる最小の数である六十は、十進法だと「60」、十二進法だと「50」、二十進法だと「30」というように二桁で収まるが、六進法だと「140」で三桁に膨れる。一年の日数や一周の度数である三百六十も、十進法では「360」、十二進法では「260」、二十進法では「I0」というように三桁以内で収まるが、六進法だと「1400」で四桁に膨れる。
- このため、時計や角度などの六十進法も、例えば十進法の「11時45分」は、十二進法だと「B時39分」、二十進法だと「B時25分」に対して、六進法だと「15時113分」になってしまう。分度器に表示される角度も、十進法の「90度、180度、270度、360度」は、十二進法だと「76度、130度、1A6度、260度」、二十進法だと「4A度、90度、DA度、I0度」に対して、六進法だと「230度、500度、1130度、1400度」になってしまう。
- 千四百四十(=四周、十グロス)前後だと、十進法では千(=43446)で四桁に突入し、十二進法では千七百二十八(=120006)で四桁に突入するのに対して、六進法では千二百九十六で五桁に突入する(100006=129610=90012=34G20)。八千六百四十(=二十四周、五大グロス)前後だと、二十進法では八千(=1010126)で四桁に突入し、十進法では一万(=1141446)で五桁に突入するのに対して、六進法では七千七百七十六で六桁に突入する(1000006=777610=460012=J8G20)。このため、西暦や皇紀などの年数表示も、五桁を要する事になる。
- このように、様々な機器で多数の桁表示という手間が発生する。
- 六は2と3の積であるため、約数は2と3の計二つで、素因数分解も2×3となる。このため、2分割と3分割は容易であるが、4分割が困難になる。
- 一桁の整数では、「1/2:1/2」なら「3:3」、「1/3:2/3」なら「2:4」として表現できるが、「1/4:3/4」は表現できない。例えば、長さが2/3の袖は「四分袖」として表現できるが、長さが3/4の袖は表現できず「長さが5/6の袖」で「五分袖」になってしまう。一桁で4分割に対応するには、六の二倍で十二進法にしないと対応できない。小数レベルでも、六進法では、1/4(2-2)は小数では 0.13 となって割り切れるが、小数第一位で収まらない。1/8(2-3)になると、0.043 で小数第三位まで膨れてしまう。
- また、10(六)は5で割り切れないので、5分割には対応できない。六進法では、1÷5 = 0.1111…、10÷5 = 1.1111…、100÷5 = 11.1111…、1000÷5 = 111.1111…、というように、10(六)の累乗数を5で割ると、1が果てしなく続く循環小数になる。
- 長所
- 数え方が漸増的
- 六進法では一の位の数に5まで容れているので、漸増的な(一つずつ増やす)数え方も可能になる。「2 + 1」が3、「2の2倍」が4、「2の2倍 + 1」が5として個別の数で、5の次の「2の3倍」が10として表記されることで、数の概念を把握するのも容易になる。これは、十進法が「5の2倍」、十二進法が「3の4倍」「4の3倍」、二十進法が「5の4倍」「4の5倍」として大括りにする概念とは対照的である。
- 3で割り切れる
- 六は素因数分解すると2×3で、複数の素数の積で表せる最小の数である。従って、用いる数字が少ないことによる長所も発生する。乗算では、「九九・八十一」が「五五・四六一」となって労力が軽くなる。その上に、除算では、八進法のような「2でしか割り切れない」、九進法のような「3でしか割り切れない」、十進法のような「3で割り切れない」という不便が発生しない。素因数が2と3の計二つなので、2の累乗数(二、四、八、十六…)、3の累乗数(三、九、二十七、八十一…)、2p×3pの積(六、十二、十八など)が、1を割り切れる数になる。三十六である100や二百十六である1000は、九(13=100÷4)でも十八(30=100÷2)でも二十七(43=100の3/4)でも割り切れる。
- 小数も、1/3が0.2、1/610が0.1で小数第一位に収まり、1/910(3-2)も0.04で小数第二位に収まる。小数第三位になる数を見ても、1/810(2-3)が0.043(十進表記:27/216)に対して、1/2710(3-3)は0.012(十進表記:8/216)で、両者は「8:2710」という小さい開きで収まる。このため、割分厘を六進法に変えて六分率(割)・三十六分率(分)・二百十六分率(厘)にすると、1/3が「2割」「0.2」、1/4が「1割3分」「0.13」、1/610が「1割」「0.1」、1/810が「4分3厘」「0.043」、1/910が「4分」「0.04」、1/2710が「1分2厘」「0.012」として表すことが可能になる。
- また、3-3の小数は六進法も十二進法も小数第三位(即ち厘)を要するが、十二進法だと千七百二十八分率{(0.054)12=十進表記で64/1728。開きは 6410:2710}になってしまうが、六進法ではその1/8の二百十六分率で足りる。
- 分割も簡略化も容易
- 六進法は、すぐに桁が繰り上がるという短所の反面、3で割り切れて見やすくなるという長所も発生する。例えば、時計は、文字盤の3が「3」、6が「10」、9が「13」、12が「20」となり、分数も15分は「23分」、30分は「50分」、45分は「113分」、60分は「140分」というように、文字盤と分数は、一の位は三の倍数である奇数が「3」、六の倍数が「0」で一致する。
- 更に、十進法は十二が1210で端数になるのに対して、六進法は六が10になっていることで、十二(20)と三十(50)は端数にならず、6010が「140」、36010が「1400」と表記されることで「一年は六ヶ月を二回(10×2=20)」「一ヶ月は六日を五回(10×5=50)」「一時間は六を十回(10を14回=140)または十を六回(14を10回=140)」「一周は三十六を十回(100を14回=1400)または六十を六回(140を10回=1400)」として捉えることもできる。従って、六十までが三桁表記だが六十進法に適用すると、時計が逆に見やすくなることになる。その上に、前述の通り十(14)とその累乗数も3で割り切れる。
- このように、分割という「最小公倍数」的要素のみならず、簡略化という「最大公約数」的要素の両方を六進法は持っている。これは、十(146)と百(2446)に囚われる十進法や、十二(206)と百四十四(4006)に囚われる十二進法とは対照的である。
参考文献[編集]
- ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Ndom”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.) 2008年3月12日閲覧。
- ^ Owens, Kay (2001), “The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania”, Mathematics Education Research Journal 13 (1): 47-71, オリジナルの2015年9月26日時点によるアーカイブ。