十進法
十進法（じっしんほう、英: decimal system）とは、10 を底（てい）とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。
記数法[編集]
十進記数法とは、十 を底とする位取り記数法である。現在[いつ?]、数の表記に広く使われている文字体系は、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 からなる 10 個のアラビア数字を用いる十進記数法である。右端あるいは小数点で 1 の桁を表す。数字の意味する数は、左に 1 桁ずれると 10倍になり、右に 1 桁ずれると 1/10 になる。「14」という表記において、左の「1」は十を表し、右の「4」は四を表し、合わせて十四を表す。十進記数法で表された数を十進数と呼ぶ。別の位取り記数法と区別する場合には、(15)10 というように十進表記は括弧および下付の 10 で区別する。
この他、算木も十進記数法であるが、現在は用いられていない。しかし、算木から変化した蘇州号碼は現在も香港などで僅に使われている。
そろばんは十進法と同じ仕組みだが、文字として表記することはない。十進法のうち、五倍→二倍→五倍→二倍…の循環で繰り上げる方法は、正確には「二・五進法」という。
ローマ数字、漢数字、ヒエログリフ（エジプト数字）などは、十を「10」ではなく新しい文字として表現するが、十進法を基本にしている。
名称[編集]
十進記数法は単に「十進法」と呼ばれることもあるが、これを「10 進法」と書くのは混乱を招く。同じく、十二進法を「12進法」と書いたり、六十進法を「60進法」と書くのも混乱を招く。これは、10 が十を意味するのは十進記数法だからであり、例えば二進法ならば 10 は二を意味する（10は二進法以外でも「イチゼロ」と読む）し、十二進法ならば 12 は十四になってしまい、5の次が10（六進法）なら六が 10 で十は 14 になる。同じく、60 が六十を意味するのも十進法だからであり、十二進法だと 60 は七十二になり、二十進法だと 60 は百二十になってしまう。
漢数字にはそのような曖昧さはない。英語でも同様に base-10 より decimal 、base-60 より sexagesimal が好まれる。しかし、base-ten や base-sixty と表記することは、「10進法」や「60進法」と表記することよりは混乱は避けられるだろう。
累乗数の換算表[編集]
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以下の表に、十の累乗数を、他のN進法に換算した数値を掲載する。万や億との対比を判り易くするため、桁は四つごとに区切る。桁の底は、それぞれ二の三倍（六進数）、二の五倍（十進数）、四の三倍（十二進数）、四の五倍（二十進数）である。
他の累乗数との接近では、以下のパターンがある。桁上がりの遅速は、三乗～四乗では十二進数より一倍半から二倍ほど速く、四乗への繰り上がりは六進数より八倍遅い｛10368(10) = 120000(6)｝。十万（十の五乗）や一億（十の八乗）は他の複素因数進法とかなり離れており、百万に最も近い十の累乗数は六の八乗となり、三百万前後で冪数が来る十二進数（十二の六乗）や二十進数（二十の五乗）のほぼ1/3である。素因数が同じ二十の累乗数よりは、同じ単偶数である六の累乗数との接近が多く、最も小さい所では十の三乗と六の四乗が近く、最も接近する値が一千万前後で十の七乗と六の九乗となる｛10077696(10) = 1000000000(6)｝。
- 四乗（一万）まで
- 十の二乗・十二の二乗・六の三乗｛ 144(10)＝100(12), 216(10)＝1000(6) ｝
- 十の三乗・六の四乗・十二の三乗｛ 1296(10)＝10000(6), 1728(12)＝1000(12) ｝
- 六の五乗・二十の三乗・十の四乗・十二の四乗｛ 7776(10)＝100000(6), 8000(10)＝1000(20), 20736(10)＝10000(12) ｝
- 五乗（十万）前後
- 六進数：1000000(6) = 46656(10)
- 二十進数：10000(20) = 160000(10)
- 十二進数：100000(12) = 248832(10)
- 六乗（百万）前後
- 六進数：100000000(6) = 1679616(10)
- 十二進数：1000000(12) = 2985984(10)
- 二十進数：100000(20) = 3200000(10)
- 七乗（一千万）前後
- 六進数：1000000000(6) = 10077696(10)
- 八乗（一億）前後
- 二十進数：1000000(20) = 64000000(10)
- 十二進数：100000000(12) = 429981696(10)
| 指数 | 六進数 | 十進数 | 十二進数 | 二十進数 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 14 | 10 | A | A |
| 2 | 244 | 100 | 84 | 50 |
| 3 | 4344 | 1000 | 6B4 | 2A0 |
| 4 | 11 4144 | 1 0000 | 5954 | 1500 |
| 5 | 205 0544 | 10 0000 | 4 9A54 | CA00 |
| 6 | 3323 3344 | 100 0000 | 40 2854 | 6 5000 |
| 7 | 5 5420 0144 | 1000 0000 | 342 3054 | 32 A000 |
| 8 | 135 3120 2544 | 1 0000 0000 | 295A 6454 | 1B5 0000 |
| 9 | 2431 2124 5344 | 10 0000 0000 | 2 3AA9 3854 | FCA 0000 |
| 10 | 4 3321 4241 2144 | 100 0000 0000 | 1B 30B9 1054 | 7G50 0000 |
| 11 | 113 5345 2301 4544 | 1000 0000 0000 | 174 6996 A454 | 3 I2A0 0000 |
| 12 | 2043 2210 1030 1344 | 1 0000 0000 0000 | 1419 81B8 7854 | 1J 1500 0000 |
他のN進数との互換[編集]
他のN進数から十進数に変換する場合は、「十進数→他のN進数」の場合と同じく、整数はそのまま十進数に変換し、小数部分は十の累乗数を他のN進数に換算した値を掛けると求められる。
- 六進数→十進数
（例）六進数 122.3224（十進冪指数で 216 ÷ 64）
- 整数：122(6) = 50(10)
- 小数の分母：10000(6) → 114144(6)（十進換算値：1296 → 10000）
- 3224 × 11.4144 = 42143.0024 → 42143(6)
- 42143(6) = 5679(10)
以上から、122.3224(6) ≒ 50.5679(10) となる。
- 二十進数→十進数
（例）二十進数 2B.62（長さ、質量、倍率など）
- 整数：2B(20) = 51(10)
- 小数の分母：100(20) → 2A0(20)（十進換算値：400 → 1000）
- 62 × 2.A0 = F5.00 → F5(20)
- F5(20) = 305(10)
以上から、2B.62(20) = 51.305(10) となる。
命数法[編集]
数詞[編集]
現在、世界の言語の数詞は十進命数法が圧倒的であり、北京官話、英語、スペイン語、ポルトガル語、ロシア語、日本語、ドイツ語など、話者数の多い言語の大半で使われている。古語ではラテン語も同様である。古語大言語で十進命数法でないのは、二十進法を遺すフランス語などに限られる。
十進命数法は、ヒトの十本の手指に由来する。数詞が例外なく各桁の数と位から構成される完全な十進命数法は、呉語を除く中国語に見られる。ベトナム語の数詞もほぼ例外がない。朝鮮語、日本語、タイ語の数詞は中国語から輸入したものである。なお、春秋戦国時代までの中国語では、各桁の間に「と」を意味する「又」や「有」を挿入した。論語では十五を「十有五」と書かれている[1]。
その他の言語では、十の倍数が一語で表されたり、十一から十九までの数が一語で表されたり、十一から十九までが「十にRを加えた」語で表されたりする例が多い。例えば、英語では、十一は *ten-one ではなく eleven であり、二十は *two-ten ではなく twenty である。また、十の倍数についても、日本語の「みそ」(三十)や漢数詞の「四十」やラテン語の「sexaginta」(六十) というように、「掛ける十」を意味する接尾辞を付けている数詞が多い。
五本指の手が二本あるので、十の他に五も基準にして、「十の累乗数」と「十の累乗数の五倍」で桁を繰り上げる方法がある。これを二五進法と呼ぶ。このような数詞を持つ言語は少なく、ウォロフ語[2]、クメール語[3]などがある。一方、十を二個の五に分ける言語は存在しない。
不規則な数詞は子供の数の能力に悪影響があるという報告がある[4]。
以下に漢語、日本語（大和言葉）、ウォロフ語、英語、ラテン語の数詞を示す。
| 数 | 漢語 | 日本語（大和言葉） | ウォロフ語 | 英語 | ラテン語 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 一 | ひい | benna | one | unus |
| 2 | 二 | ふう | ñaar | two | duo |
| 3 | 三 | みい | ñetta | three | tres |
| 4 | 四 | よ | ñenent | four | quattuor |
| 5 | 五 | いつ | juróom | five | quinque |
| 6 | 六 | む | juróom benna | six | sex |
| 7 | 七 | なな | juróom ñaar | seven | septem |
| 8 | 八 | や | juróom ñetta | eight | octo |
| 9 | 九 | ここ | juróom ñenent | nine | novem |
| 10 | 十 | とお | fukka | ten | decem |
| 11 | 十一 | とおあまりひい | fukka ak benna | eleven | undecim |
| 12 | 十二 | とおあまりふう | fukka ak ñaar | twelve | duodecim |
| 20 | 二十 | はた | ñaar fukka | twenty | viginti |
| 21 | 二十一 | はたあまりひい | ñaar fukka ak benna | twenty-one | viginti et unus |
単位系[編集]
10 を底とする単位には以下のものがある。
10 の冪乗に基づく単位系はフランス革命以降に世界規模に拡大したが、それ以前には地域ごとにで様々な数に基づく単位系が使用されていた。たとえば、ヤード・ポンド法では1 ヤード = 3 フィート = 36 インチである。中国や日本の尺貫法も、1 丈 = 10 尺 = 100 寸など 10 の冪乗に基づく部分は多いものの、1 斤 = 16 両のような例外も多い。単位系を 10 の冪乗に基づくものに移行することを「十進化」という。
長短[編集]
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十進法の長所と短所を要約すると、「分割には弱いが、簡略化には強い」ことが挙げられる。別の言い方をすると、分割という「最小公倍数的な要素」は弱いが、簡略化という「最大公約数的な要素」が強いということである。
- 短所
- 3で割り切れない
- 最も頻繁に挙がる十進法の短所は、「1/3が割り切れない」性質である。1を除くと最小の奇数は3であるが、10（十）は3で割り切れないため、十進法では、1÷3 = 0.3333…、10÷3 = 3.3333…、100÷3 = 33.3333…、1000÷3 = 333.3333…というように、10（十）の累乗数を3で割ると、3が果てしなく続く循環小数になって割り切れない。単位に当て嵌めても、1メートルの1/3は33.3333…センチメートルという割り切れない数になってしまう。当然、10の累乗数は、6（31×2）や9（32）でも割り切れない。
- 3で割り切れる例は、例えば6、12、30、36、60、90、360、1080といった「3で割り切れる数」が単位に設定された場合に限られる。
- 「1÷3」「10÷3」「100÷3」「1000÷3」を割り切るには、六進法や十二進法など、「底が3で割り切れる」N進法に変更せねばならない。
- 4分割も不便
- 十の約数は、2の次は3と4を飛ばして5になる。このため、整数レベルでは1/4すら割り切れない。例えば、スナック菓子を10個入りにすると、3人は勿論、4人でも分けられずに収拾がつかなくなる。4すら飛ばしているため、5人でやっと収拾がつく事になる。
- 一桁の整数でも、十進法は「1/3：2/3」にも「1/4：3/4」にも対応できない。このため、「七三分け」というように歪な配分になる。一桁で奇数分割と4分割に対応するには、4分割なら十二進法で「3：9」か、二十進法で「5：F」というようにしないと収まらない。
- 小数レベルでも、十進法では、1/4は小数では 0.25 となって割り切れるが、小数第一位で収まらない。もう一回2分割した1/8になると、0.125 で小数第三位まで膨れる。百分率に倣って他のN進法を累乗数分率にすると、「8：m」の比率は、十二進法が小数第二位で8：18（百四十四分率、0.1612）、二十進法が小数第二位で8：50（四百分率、0.2A20）、六進法が小数第三位で8：27（二百十六分率、0.0436）に対して、十進法は小数第三位で8：125（千分率、0.12510）まで開いてしまう。この125は、27のほぼ5倍｛53 = 33×5 － 10｝で、18のほぼ7倍｛53 = 18×7 － 1｝に上る。
- また、十で桁が繰り上がるので、3の倍数や4の倍数で個数を設定しようとすると、5と10（十）で遮られる。例として、陸上競技の混成競技は、3の倍数で三種→六種→九種→十二種→十五種（六進法：3→10→13→20→23。十二進法：3→6→9→10→13。二十進法：3→6→9→C→F）や、4の倍数で四種→八種→十二種→十六種→二十種（六進法：4→12→20→24→32。十二進法：4→8→10→14→18。二十進法：4→8→C→G→10）という自然な個数にならず、三種→五種→七種→十種という不自然な個数になる。
- その上に、10（十）の2乗である100（百）には、25と50の間に36（6の2乗）前後の約数が無い。このため、小数第二位で収まる4パーセント（0.04）が1/25、2パーセント（0.02）が1/50というように「1÷約数」で分数化できるのに対して、3パーセント（0.03）は「1÷約数」で分数化できず、消費税の税率も「3パーセント→5パーセント→8パーセント→10パーセント」という歪な変化になってしまう。一方で、十二進法だと(0.1)12を3で割って(0.04)12にすれば1/36で小数第二位に収まり、二十進法だと(0.1)20を2で割って(0.0A)20にすれば1/40で小数第二位に収まる。
- 長所
- 十進法では、2、3、5の小さい素数3つで割り切れる最小の数は30（三十）、1から5までを制える最小の数は60（六十）と表記される。三十は4で割り切れないため、十二進法では26（2倍半）、二十進法では1A（1倍半）という表記になってしまう。また、三十は六と十では割り切れるので、三十を六進法では50（五六）、十進法では30として一の位を0として表記できるが、六進法では六十に満たない三十六で100つまり三桁になってしまう。
- 一方、十進法では、三十が「30」で一の位を0として表記できる上に、六十も「60」として二桁表示が可能になる。このため、三十から成る数や単位を簡略化して「十を三回」、六十を「十を六回」として両方を「NをM回、かつN＞M」として数えることも可能になる。また、十進法を適用した六十進法では、小数が「六分の一の位」「六十分の一の位」「三百六十分の一の位」の順に小さくなり、見やすくなる。
参考文献[編集]
- ^ 論語: 吾十有五而志于学。
- ^ http://www.zompist.com/niger.htm#WOL
- ^ http://www.zompist.com/asia.htm#KMR
- ^ Azar, Beth (1999), “English words may hinder math skills development”, American Psychology Association Monitor 30 (4)
