平方数

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平方数(へいほうすう、square number)とは、自然数の自乗(二乗)で表される整数のことである。正方形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数に等しいので、四角数(しかくすう)ともいい、多角数の一種である。最小の平方数として、定義に 02 = 0 を加えることができる。平方数は無数にあり、その列は次のようになる。

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, …オンライン整数列大辞典の数列 A290

平方数の列の隣接二項間についての漸化式を考えると、1 から連続する正の奇数の総和は平方数に等しい:

1 4 9 16
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性質[編集]

  • 0, 1 以外の平方数は合成数である。
  • 正の約数の個数が奇数である自然数は平方数に限る。とくに、正の約数の個数が3個である自然数は素数の2乗で表せる。
  • 1 から 2n − 1 までの n 個の奇数の総和n2 に等しい:
  • n 番目の平方数 n2 までの総和は であり、これは n 番目の四角錐数に等しい。また組合せ記号を用いて n+1C3 + nC3 とも表現できる。
  • 0 を除く平方数の逆数和は に収束する:(→ゼータ関数バーゼル問題
  • 連続する平方数 n2(n + 1)2 の間に必ず素数があるかは、証明されていない(ルジャンドル予想)。だが、素数であるか2個の素数の積である数が存在することは、1975年陳景潤によって証明されている。
  • 平方数の列の階差数列は公差 2 の等差数列であり、したがって第二階差数列は定数列 2である。
  • 平方数は連続する2つの三角数の和で表せる。
  • 奇数の平方数の差は8の倍数となる。
  • 奇数の完全数は存在したとしても正の約数の個数が偶数であることが知られている。これより、平方数は完全数にはなりえないと分かる。
  • フィボナッチ数である平方数は 0, 1, 144 のみである。
  • 三角数である平方数は 0, 1, 36, 1225, …オンライン整数列大辞典の数列 A001110
  • 五角数である平方数は 0, 1, 9801, 94109401, …オンライン整数列大辞典の数列 A036353
  • ハーシャッド数である平方数は 1, 4, 9, 36, 81, 100, 144, 225, 324, 400, 441, 576, …オンライン整数列大辞典の数列 A118547
  • 立方数でもある平方数は6乗数 n6 である。0, 1, 64, 729, 4096, …オンライン整数列大辞典の数列 A001014
  • 十の位が奇数の平方数は、一の位が必ず 6 になる。16, 36, 196, 256, 576, 676 など。
  • 下2桁が 25 の平方数は、百の位が必ず 0, 2, 6 のいずれかになる。25, 225, 625, 1225, …
  • 14444116919696125662510242401 のように、数字を並べ替えただけで、別の平方数になるものがある。(オンライン整数列大辞典の数列 A034289
  • 、1、1、1などの数は底が 10102n = (10n)2 の形)の平方数である。
  • 十進法において、平方数の数字根1, 4, 7, 9 のどれかにしかならない。これにより、三進法では三の位が0の場合は一の位は0または1であり、三の位が1, 2の場合は一の位が1としかならない。
  • 十進法において、平方数の下二桁は 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96 のどれかにしかならない。
  • 平方数の下桁の数が自分自身と同じになる数については自己同形数を参照。
  • 平方数を二進法表示したとき、二の位は必ず 0 となる。二進法では下2桁は 00, 01, 10, 11 の4通りであり、それぞれ平方すると 002 = 00, 012 = 01, 102 = 100, 112 = 1001 と二の位がいずれも 0 であるため。
  • n進法表示にしても、121 = 112 (n ≥ 3), 144 = 122, 441 = 212 (n ≥ 5) は成り立つ。

平方数による表現[編集]

一般化[編集]

有理数の平方として表される有理数を平方数ということもある。さらに一般には、可換体 K の乗法群 K* の部分集合 {x2 | xK}直積集合と紛れるおそれのないときにはこれを (K*)2 などと表す)の元を平方数や平方元と呼ぶことがある。主に (K*)2K* のときに意味を持つ。

参考文献[編集]

  • Chen, J. R. "On the Distribution of Almost Primes in an Interval." Sci. Sinica 18, 611-627, 1975.

関連項目[編集]

外部リンク[編集]