直積集合

A = {x, y, z} と B = {1, 2, 3} との直積の図示

数学において、集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合とは、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合のことである。

二つの集合 A, B に対し、

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}$$A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \land b \in B \}$

で定義される集合を A と B の直積集合とよぶ。ここで (a, b) は、順序対を表す。つまり一般には (a, b) ≠ (b, a) である。これらは、たとえ a, b (a ≠ b) がともに A にも B にも属していたとしても異なるものとして区別される。したがって、集合としても（A = B でない限り）

$A\times B\neq B\times A$$A\times B\neq B\times A$

である。

直積集合の例

トランプのカード

標準的なトランプの52枚のデッキ

直積集合の視覚的にわかりやすい例としては、標準的な52枚一組のトランプのデッキがある。トランプのランクは {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} という 13 の元からなる集合である。スーツは {♠, ♥, ♦, ♣} という 4 の元からなる集合である。この2つの集合の直積集合は、52 の組の元からなる集合であり、それぞれの元は、52枚のトランプのカードと1対1に対応している。

たとえば、ランク × スーツ という直積集合は、

{(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}

という集合であり、スーツ × ランク という直積集合は、

{(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

という集合である。

直積集合の元は順序対なので、上の2つの集合は異なる集合であり、同じ元はひとつも含まれていない。

2次元直交座標系

点の直交座標の例

有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、幾何学的な図形を数を用いて表現したり、図形から数の情報を得るために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる（図を参照）。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち ℝ×ℝ（ℝ は実数）という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。

定義

有限直積

n 個の集合 A₁, ..., A_n に対する直積集合を、

$\prod _{i=1}^{n}A_{i}=\{(a_{1},\dots ,a_{n})\mid a_{1}\in A_{1}\wedge \ldots \wedge a_{n}\in A_{n}\}$$\prod _{{i=1}}^{{n}}A_{i}=\{(a_{1},\dots ,a_{n})\mid a_{1}\in A_{1}\wedge \ldots \wedge a_{n}\in A_{n}\}$

と定義する。ここで (a₁, ..., a_n) は a₁, ..., a_n の n-組である。∏_i=1ⁿ A_i を A₁ × … × A_n とも表す。

A, B, C を集合とするとき、厳密に言えば

$(A\times B)\times C,\quad A\times (B\times C),\quad A\times B\times C$$(A\times B)\times C,\quad A\times (B\times C),\quad A\times B\times C$

はすべて集合として異なる。しかしこれらの間には

$((a,b),c)\gets \!\mapsto (a,(b,c))\gets \!\mapsto (a,b,c)$$((a,b),c)\gets \!\mapsto (a,(b,c))\gets \!\mapsto (a,b,c)$

で与えられる自然 (canonical) な全単射が存在するので、誤解の恐れのない場合には、そして多くの場合に全て同一視（成分の並びを変えずに括弧だけを外）して考える。これは、このとき直積が集合間の演算として結合法則を満たすものと看做されたことを意味する。これは直積をとる集合の数が増えても同じことで、その意味で A₁ × … × A_n は二つの集合の直積をとることの繰り返し

$A_{1}\times \cdots \times A_{n}:=(A_{1}\times \cdots \times A_{n-1})\times A_{n}$$A_{1}\times \cdots \times A_{n}:=(A_{1}\times \cdots \times A_{{n-1}})\times A_{n}$

であると考えてよい。

無限直積

必ずしも有限でない集合 Λ で添字付けられる集合の族 {A_λ}_λ∈Λ に対し、それらの直積集合を考えることもできる。この集合族に属する集合の（集合論的）直和を A = ∪_λ∈Λ A_λ とし、添字集合 Λ から A への写像全体の成す集合を Map(Λ, A) = {f: Λ → A | f は写像} とすると、直積は

$\{f\colon \Lambda \to \mathbf {A} \mid f(\lambda )\in A_{\lambda },\,\forall \lambda \in \Lambda \}\subset {\text{Map}}(\Lambda ,\mathbf {A} )$$\{f\colon \Lambda \to {\mathbf {A}}\mid f(\lambda )\in A_{\lambda },\,\forall \lambda \in \Lambda \}\subset {\text{Map}}(\Lambda ,{\mathbf {A}})$

という集合として定義される。写像 f は各 λ ∈ Λ に対してその像 a_λ := f(λ) を与えれば決まるから、f を元の族 (a_λ)_λ∈Λ と同一視すれば

$\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\{(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mid a_{\lambda }\in A_{\lambda },\,\forall \lambda \in \Lambda \}$$\prod _{{\lambda \in \Lambda }}A_{\lambda }=\{(a_{\lambda })_{{\lambda \in \Lambda }}\mid a_{\lambda }\in A_{\lambda },\,\forall \lambda \in \Lambda \}$

と書くことができる。また、Λ が有限順序数 {1, 2, ..., n} であるとき、$\prod _{i=1}^{n}A_{i}$$\prod _{{i=1}}^{{n}}A_{i}$ とも書かれ、これが先に述べた有限直積と一致する概念を定めていることも確認できる。$\Lambda =\mathbf {N}$$\Lambda ={\mathbf {N}}$（自然数全体からなる集合）のとき、$\prod _{\lambda \in \mathbf {N} }A_{\lambda }$$\prod _{{\lambda \in {\mathbf {N}}}}A_{\lambda }$ は $\prod _{i=1}^{\infty }A_{i}$$\prod _{{i=1}}^{{\infty }}A_{i}$ とも記される。

$A_{\lambda }=\varnothing$$A_{\lambda }=\varnothing$ であるような $\lambda \in \Lambda$$\lambda \in \Lambda$ が少なくとも１つ存在すれば、$\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\varnothing$$\prod _{{\lambda \in \Lambda }}A_{\lambda }=\varnothing$ であることは、直ちに示される一方、その逆にあたる命題は選択公理 （と同値）である。

デカルト冪

集合 A に対し、A とそれ自身との（任意個の）直積として得られる集合

$A\times A,\,A\times A\times A,\,\ldots$$A\times A,\,A\times A\times A,\,\ldots$

などを総称して、A のデカルト冪 (Cartesian power) と呼ぶ。一般に有限順序数 n に対して

$\prod _{i=1}^{n}A=\overbrace {A\times A\times \cdots \times A} ^{n}=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in A\}$$\prod _{{i=1}}^{n}A=\overbrace {A\times A\times \cdots \times A}^{{n}}=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in A\}$

はしばしば

$A^{n},\,A^{\times n},\,{\overset {n}{\times }}A$$A^{n},\,A^{{\times n}},\,{\overset {n}{\times }}A$

などと略記される。$\Lambda$$\Lambda$ を任意の順序数とすれば、

$\prod _{\lambda \in \Lambda }A={\text{Map}}(\lambda ,A)$$\prod _{{\lambda \in \Lambda }}A={\text{Map}}(\lambda ,A)$

である。R を実数全体の作る実数直線とすれば、デカルト冪の例として平面 R² = R × R, 三次元空間 R³ = R × R × R, 一般に n-次元ユークリッド空間（の台集合）Rⁿ を挙げることができる。あるいは実数列の全体も最小の超限順序数 ω で添字付けられた

$\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots$${\mathbb {R}}^{{\omega }}={\mathbb {R}}\times {\mathbb {R}}\times \cdots$

という無限デカルト冪と見ることができる。

直積集合の濃度

有限集合 A, B の有限直積 A × B の濃度は、|A × B| = |A||B| となる。これは、（場合の数に関する）積の原理から導くことができる。特にデカルト冪について |Aⁿ| = |A|ⁿ が成り立つ。

A × B

A＼B	1	3
0	(0,1)	(0,3)
1	(1,1)	(1,3)
2	(2,1)	(2,3)
3	(3,1)	(3,3)

一例として、

A = {0, 1, 2, 3} （3以下の自然数の集合）

B = {1, 3} （3以下の奇数の集合）

このとき、|A| = 4, |B| = 2, A × B = {(0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3)} であって、実際に |A × B| = 8 = 4 × 2 = |A||B| であることが確認できる。

直積の普遍性

各 μ ∈ Λ に対し、標準的に定まる全射

$\pi _{\mu }\colon \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\to A_{\mu };\ (a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mapsto a_{\mu }$$\pi_\mu\colon \prod_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \to A_\mu;\ (a_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} \mapsto a_\mu$

を第 μ-成分への射影あるいは簡単に μ-射影などと呼ぶ。

射影を使うと、直積は次のような普遍性を持つものとして特徴付けることができる：

B は集合で、各 λ に対して写像 f_λ: B → A_λ が与えられているならば、写像 f: B → ∏_λ∈Λ A_λ で

$f_{\lambda }=p_{\lambda }\circ f$$f_{\lambda }=p_{\lambda }\circ f$

を満たすものがただ一つ存在する。

これを直積の普遍性と呼ぶ。すなわち集合の直積は集合の圏における積に他ならない。集合の圏以外の圏、たとえば群の圏などの代数的構造を持つ集合の圏についても一般に、直積とは、このような普遍性を持つ対象として定義される。（圏論的には直積の双対概念として直和がある。）

写像の直積

ふたつの写像 f: A → X, g: B → Y が与えられたとき、直積集合 A × B から直積集合 X × Y への写像を

$(f\times g)(a,b):=(f(a),\,g(b))\quad (a\in A,\,b\in B)$$(f\times g)(a,b):=(f(a),\,g(b))\quad (a\in A,\,b\in B)$

で定義することができる。この f × g を写像 f, g の直積と呼ぶ。任意の有限あるいは無限個の写像の直積も同様に定義できる。

関連項目

• 数学的構造
• 直和
• 選択公理
• テンソル積
• ルネ・デカルト

外部リンク

• Cartesian product - PlanetMath.（英語）
• Weisstein, Eric W., "Cartesian Product" - MathWorld.（英語）