外延性の公理

外延性の公理（がいえんせいのこうり、（英: axiom of extensionality）は、ツェルメロ＝フレンケル集合論などの集合論の公理系を構成する公理の一つであり、「同じ構成の集合は一つしか存在しない」と定める。

定義

集合論の言語 ${\mathcal {L}}_{\in }$ を用いて、外延性の公理は次で定義される。

$\forall x\ \forall y\left[\forall z\left[z\in x\Leftrightarrow z\in y\right]\Rightarrow x=y\right]$

下記の論理式も、古典論理上同値である。

• $\forall x\ \forall y\left[x=y\lor \exists z\left[z\in x\not \Leftrightarrow z\in y\right]\right]$
• $\forall x\ \forall y\left[\forall z\left[z\in x\Leftrightarrow z\in y\right]\Leftrightarrow x=y\right]$
• $\forall x\ \forall y\left[\left[\forall z\left[z\in x\Rightarrow z\in y\right]\land \forall w\left[w\in y\Rightarrow w\in x\right]\right]\Rightarrow x=y\right]$

この公理の逆は、等式の置換特性に由来する。等号 $=$ は、任意の値 $x$、$y$ について、次の論理式の略語として定義できる。

$\forall z\left[z\in x\Leftrightarrow z\in y\right]\land \forall w\left[x\in w\Leftrightarrow y\in w\right]$

この場合、外延性の公理は次のように定式化できる。

$\forall x\ \forall y\left[\forall z\left[z\in x\Leftrightarrow z\in y\right]\Rightarrow \forall w\left[x\in w\Leftrightarrow y\in w\right]\right]$

この式は、$x$ と $y$ が同じ元を持つ場合、それらは同じ集合に属することを意味する。

定義の解釈

自然言語を用いて、外延性の公理は次で解釈される：

「任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない。」

性質

外延性の公理から、下記の等号公理の一部が導かれる。

$\forall x\left[x=x\right]$（反射律）

$\forall x\ \forall y\left[x=y\Rightarrow y=x\right]$（対称律）

$\forall x\ \forall y\ \forall z\left[\left[x=y\land y=z\right]\Rightarrow x=z\right]$（推移律）

$\forall x\ \forall y\ \forall z\left[\left[x=y\land z\in x\right]\Rightarrow z\in y\right]$

ただし、$\left.=\right.$ と $\in$ に関する下記の公理は別途必要である。

$\forall x\ \forall y\ \forall z\left[x=y\Rightarrow \left[x\in z\Rightarrow y\in z\right]\right]$

空集合の公理、対の公理、和集合の公理、冪集合公理で存在が主張される集合はそれぞれ、外延性の公理により一意に定まる。

参考文献

• ケネス・キューネン『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、日本評論社、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9
• 田中尚夫『現代数学レクチャーズ B-10 公理的集合論』、培風館、1982年10月25日
• 倉田令二朗『数学概論』、日本放送出版協会、1974年8月10日