外延性の公理

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外延性の公理(がいえんせいのこうり、axiom of extensionality)は、ZF公理系を構成する公理の一つで、「全く同じ要素からなる2つの集合は等しい」ことを主張するものである。

定義[編集]

A, Bを任意の集合とするとき、もし任意の集合Xについて「XがAの要素であるならば、そのときに限りXはBの要素である」が成り立つならば、AとBは等しい。すなわち、

性質[編集]

この公理は、「集合はそれが含む要素によって一意に定まる」ことを主張する。 例えば、{a, b}と{b, a}が等しいことや、{a, a}が{a}と等しい(すなわち多重集合は存在しない)ことなどが導かれる。

述語論理の公理によりこの公理の逆も成り立つので、実際は

が成り立つことになる。

他の公理との関係[編集]

空集合の公理対の公理和集合の公理冪集合公理で存在が主張される集合はそれぞれ、外延性の公理により一意に定まる。

参考文献[編集]

関連項目[編集]