置換公理

置換公理（英語: axiom schema of replacement）または置換の公理型は、公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つである。この公理は、任意の任意の集合間のすべての写像は、また集合であることを主張していて、ZF公理系での無限集合の構成に必要である。この公理は「あるクラスが集合かどうかは、階数ではなく濃度に依存する」という要請から動機付けされる。つまり、「集合になれるだけ小さい濃度を持つ」集合AからクラスBに全射があるとき、クラスBは集合であることを主張している。しかしながら、ZF公理系ではクラスに関して厳密な言及がないため、置換公理の主張の対象は論理式によって定義可能な写像に対してのみである。

定義

置換公理: 集合$A$上で定義可能な写像$F$の像$F[A]$はまた集合($B$)である。

PはクラスAに関する二項関係であり、すべてのxに対して$P(x,y)$なるyがただ一つ存在しているとする。これに対して$F_{P}(x)=y\iff P(x,y)$を満たす構成可能な関数$F_{P}$を考える。ここで、クラス（かもしれない）Bを、$y\in B\iff \exists x\in A(F_{P}(x)=y)$として定義する。また$B=\{F_{P}(x)\mid x\in A\}$であり、BはA上の$F_{P}$による値域と呼び、$F_{P}[A]$と書く。

置換公理の主張は、ここで$F_{P}$が定義可能でAが集合ならば、Bもまた集合であることである。

より厳密には、すべての式を一階述語論理によって量化することはできないので、メタ変項として式$\phi$、及びその変数$w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y$を用いて、

${\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{aligned}}$

とする。$\exists !$はただ一つ存在することを表す。

参考文献

• Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2007), Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work, Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-49553-6 .
• Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6, https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r4g0 .
• Jech, Thomas (2003), Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer, ISBN 3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier, ISBN 0-444-86839-9 .