配置集合

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数学集合論における配置集合[1](はいちしゅうごう、: Belegungsmenge)あるいは集合の冪(べき、: exponentiation ensembliste[2]は、二つの集合 E, F に対する演算で、E から F への写像全体の集合[1]を割り当てるものである。この集合は ℱ(E, F)[1]FE などと書かれる[3]。これはまた、E で添字付けられた Fの全体

とも一致する[4]

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  • 数列全体の成す集合を表す(数列空間も参照)。
  • 任意のでない集合 E に対し、E から空集合 への写像は存在しない(E の元のとなるべき元の存在は、 がもともと元を持たないから、満たされることがない)。すなわち、E = ∅ (E ≠ ∅) が成り立つ。
  • 任意の集合 F に対して、空集合から F への写像はただ一つ存在する(空写像、すなわち空なグラフを持つ写像)。従って、配置集合 F = {∅}一元集合である。

濃度[編集]

E および F有限集合とし、集合 E位数|E| のように書くとき、配置集合の濃度に関して

が成り立つことが示せる(重複順列の項を参照)。

E または F が無限集合のとき、上記の等式は濃度の冪の定義として用いられる。このとき、FE の濃度が E および F の濃度のみで決まる(つまり、濃度が同じならばそのような集合の取り方に依存しない)ことが示せる。

歴史[編集]

こんにち配置集合と呼ばれる構成を導入したのはゲオルク・カントールである[5]。カントールが "Belegungドイツ語版"[注釈 1] と呼んだ「N の元に対する M に値をとる配置」(: "covering"[6], : « recouvrement »[注釈 2])とは、「N の各元 nM の定まった元を割り当てる規則であって、M の元は繰り返し用いてよい[5][6]」というもので、そのような規則は今日われわれが N から M への写像と呼んでいるものに他ならない。N における個々の配置を、規則 f を明示して f(N) と書くことにすれば、すべての f(N) を元とする集合—すなわち M に値をとる N の相異なる配置全体の成す集合—を「NM による配置集合」と呼び、カントールはこれを (N|M) で表した—すなわち (N|M) = {f(N)}[5][6]

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注釈[編集]

  1. ^ 直訳すれば「割り当て」(assignment英語版)
  2. ^ 直訳すれば「被覆」だが、集合の被覆と混同してはならない

出典[編集]

  1. ^ a b c ブルバキ 1968, p. 10, §2, 2.
  2. ^ ブルバキ 1968, p. 28, §4, 9—「[訳注] 原文では,配置集合を作ることを «巾(=累乗,exponentiation)» とよんでいるが,わが国の慣行では,部分集合の全体 𝔓(E) のことを «巾集合(英 power-set,独 Potenzmenge)» とよび,Belegungsmenge というドイツ語からの訳語 «配置集合» を EI にあてる習慣があるので,ここでもそれにしたがった.」
  3. ^ Halmos 1960.
  4. ^ ブルバキ 1968, p. 28, §4, 9..
  5. ^ a b c Cantor (1895), Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis, traduit et commenté sur Bibnum, http://www.bibnum.education.fr/math%C3%A9matiques/th%C3%A9orie-des-nombres/contributions-au-fondement-de-la-th%C3%A9orie-des-ensembles-transfinis  § 4.
  6. ^ a b c Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, p. 174 

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]