反対称関係

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反対称関係(はんたいしょうかんけい、antisymmetric relation)とは、集合 X に関する二項関係 R であって、次の条件を満たすものをいう。

\forall a, b \in X,\ (a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b)

すなわち、X の任意の元 ab に対して「a から b への関係、および b から a への関係がともに成り立つならば、a = b である」ような関係のことである。この条件を反対称律という。

また、反対称律は次の条件と同値である。

\forall a, b \in X,\ (a R b \and a \ne b \Rightarrow \lnot b R a)

すなわち、反対称関係とは「a からb への関係が成り立ち、かつ ab が等しくないならば、b から a への関係は成り立たない」ような関係であると定義してもよい。

反対称律に加え、反射律および推移律が成り立つ二項関係を、順序関係という。したがって、一般に順序関係は反対称関係である。例えば、実数における大小関係 (≤) や集合における包含関係 (⊂) は順序関係であるから、反対称関係でもある。順序関係でなく、反対称関係である関係の例としては、等号なしの大小関係 (<) が挙げられる。

反対称関係は対称関係の論理的否定ではない。対称関係でも反対称関係でもある関係(等号など)もあり、また対称関係でも反対称関係でもない関係もある。対称関係でないものは非対称関係と呼ばれる。なお、ある変換により符号が反転する性質を反対称性というが、この概念とも直接の関係はない。

関連項目[編集]