同値

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同値(どうち)または等価(とうか)とは、2つの命題が共にまたは共にのときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iffともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。

真理値表[編集]

命題 P 命題 Q PQ

性質[編集]

同値の基本的な性質は以下のとおり。論理包含(ならば)、論理積(かつ)。

  • 反射律:
  • 対称律:
  • 推移律:

他にも次のような性質がある。否定排他的論理和

  • 反対称律:

必要十分条件[編集]

二つの条件 pq に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 pq である為の十分条件である 」 あるいは 「 qp である為の必要条件である 」 という。また、「 pq である為の十分条件であり、qp である為の十分条件である 」 というとき、「 pq である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 pq とは同値である 」 という。

例 1  自然数変数 n についての条件 p(n)q(n) を次のように定める。

  • p(n) : n > 10
  • q(n) : 2n > 20

そのとき、p(n)q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。

例 2  実数変数 x についての条件 p(x)q(x) を次のように定める。

  • p(x) : x > 0
  • q(x) : x 2 > 0

そのとき、p(x)q(x) である為の十分条件である。しかし、-1 は q(x) を満たすが p(x) を満たさないので、 「 q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす 」 とはいえない。よって、q(x)p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x)q(x) である為の必要十分条件ではない。

例 3  ¬、⇔ を論理演算とし、命題変数 AB についての条件 p(A,B)q(A,B) を次のように定める。 ( ¬ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。AB は { 真、偽 } の元の変数である。)

  • p(A,B) : ¬( AB ) = 真
  • q(A,B) : ( ¬A )⇔B = 真

そのとき、p(A,B)q(A,B) である為の必要十分条件である。すなわち、「 ¬( AB ) = 真 」 は 「 ( ¬A )⇔B = 真 」 である為の必要十分条件である。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]