同値

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同値(どうち)または等価(とうか)とは、2つの命題が共にまたは共にのときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。

真理値表[編集]

命題 P 命題 Q PQ

性質[編集]

同値の基本的な性質は以下のとおり。論理包含(ならば)、論理積(かつ)。

  • 反射律:
  • 対称律:
  • 推移律:

他にも次のような性質がある。否定排他的論理和

  • 反対称律:

必要十分条件[編集]

二つの条件 pq に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 pq である為の十分条件である 」 あるいは 「 qp である為の必要条件である 」 という。また、「 pq である為の十分条件であり、qp である為の十分条件である 」 というとき、「 pq である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 pq とは同値である 」 という。

例 1  自然数変数 n についての条件 p(n), q(n) を次のように定める。

  • p(n): n > 10
  • q(n): 2n > 20

そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。

例 2  実数変数 x についての条件 p(x), q(x) を次のように定める。

  • p(x): x > 0
  • q(x): x2 > 0

そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、−1 は q(x) を満たすが (x) を満たさないので、 「q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす」 とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。

例 3  ¬、⇔ を論理演算とし、命題変数 AB についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ¬ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。AB は { 真、偽 } の元の変数である。)

  • p(A, B): ¬( AB ) = 真
  • q(A, B): ( ¬A )⇔B = 真

そのとき、p(A, B) は q(A, B) である為の必要十分条件である。すなわち、「¬( AB ) = 真」 は 「( ¬A )⇔B = 真」 である為の必要十分条件である。

関連項目[編集]

脚注[編集]

外部リンク[編集]