冪集合公理

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数学における冪集合公理(べきしゅうごうこうり、: axiom of power set)とは、公理的集合論ツェルメロ=フレンケルの公理系の一つである。

ツェルメロ=フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される:

ここで PA の冪集合 を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる:

任意の集合 A が与えられたとき、任意の集合 B に属するようなある集合 が存在するための必要十分条件は、B のすべての元が A の元でもあることである。

部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。

冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論英語版においては可術性(predicativity)に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。

帰結[編集]

冪集合公理は、二つの集合 に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す:

ここで

であり、

であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。

任意の有限集合に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る:

デカルト積の存在は、クリプキ=プラテクの集合論英語版におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。

参考文献[編集]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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