正則性公理

正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）または基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation）とは、ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF公理系）などの集合論の公理系を構成する公理の一つであり、非空集合の元のもち方を制約する。ZF公理系を構成する他の公理のもとで同値となる様々な命題がある。1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。

定義

任意の集合は、元をもたないか、自身と互いに素な元をもつ。

$\forall x\left[\exists w\left[w\in x\right]\Rightarrow \exists y\left[y\in x\land \lnot \ \exists z\left[z\in x\land z\in y\right]\right]\right]$

これは（対の公理とともに）、たとえば、どの集合もそれ自体の元ではなく、どの集合も順序数のランクを有することを意味する。

下記のどの命題も、ZF公理系の他の公理のもとで同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない。

• $\forall x\left[x=\varnothing \lor \exists y\left[y\in x\land \forall z\left[z\not \in x\lor z\not \in y\right]\right]\right]$
• $\forall x\left[x=\varnothing \lor \exists y\left[y\in x\land x\cap y=\varnothing \right]\right]$
• 任意の集合 $x$ について、$\in$ が $x$ 上の整礎関係である。
• $V=WF$

$V$ は集合論の宇宙を指し、$WF$ は整礎的集合全体のクラス（フォン・ノイマン宇宙）を指す。

ZF公理系内に限って説明を進める。$R$ を下記のように定義する。${\mathcal {P}}$ は冪集合を返す関数である。

• $R\left(0\right)=\varnothing$
• 任意の順序数 $\alpha$ について、$R\left(\alpha +1\right)={\mathcal {P}}\left(R\left(\alpha \right)\right)$
• 任意の極限順序数 $\alpha$ について、$R\left(\alpha \right)={\begin{aligned}\bigcup _{\beta \,<\,\alpha }^{}\end{aligned}}R\left(\beta \right)$

クラス $WF$ はこれらを全て集めたものとして定義される。

$WF={\begin{aligned}\bigcup _{\alpha \,\in \,ON}^{}\end{aligned}}R\left(\alpha \right)$

ZF公理系の他の公理から得られる種々の集合演算（対集合、和集合、冪集合）の結果としての集合は常に $WF$ 内に含まれる。すなわち $V=WF$ は、全ての集合を $\varnothing$ に通常の集合演算を施して得られるものに限ると定める。したがって、例えば $x=\left\{x\right\}$ を満たす $x$ や、$\exists y\left[x\in y\land y\in x\right]$ を満たす $x$ は、正則性の公理の下で集合にならない。

性質

定理 ― 任意の $\alpha \in ON$ に対して、

1. $R\left(\alpha \right)$ は推移的である。
2. $\forall \beta \leq \alpha ;R\left(\beta \right)\subseteq R\left(\alpha \right)$

証明 — 超限帰納法による。α = 0 のときは明らかである。∀β < α に対して成り立っていると仮定する。α = β + 1 のとき、仮定より R(β) は推移的であり、$R(\alpha )={\mathcal {P}}(R(\beta ))$ も推移的になる。また、$R(\beta )\subset {\mathcal {P}}(R(\beta ))=R(\alpha )$となる。α が極限順序数のとき、仮定より ∀β < α に対して R(β) は推移的であり推移的集合の和集合が推移的になることにより

$R(\alpha )=\bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )$

も推移的になる。さらに

$\forall \beta <\alpha ;R(\beta )\subset \bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )=R(\alpha )$

も同様。

WF の定義より、x ∈ WF のとき、x ∈ R(α) を満たす最小の順序数 α は後続順序数になる。実際、α を極限順序数として x ∈ R(α) 及び ∀β < α, x ∉ R(β) が成り立っているとすると、

$x\notin \bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )=R(\alpha )$

となって矛盾する。

そこで、集合 x のランクを次のように定義する。

x ∈ WF のとき、x ∈ R(β + 1) を満たす最小の β を集合 x のランクといい、rank(x) で表す。

よって、rank(x) = β ならば

$\forall \alpha >\beta ;x\in R(\alpha )$

が成り立ち、x ∈ R(β) かつ x ⊂ R(β) となる。また、このランクの概念を用いて R(α) は次のように特徴付けられる。

$\forall \alpha ;R(\alpha )=\{x\in {\mathit {WF}}\mid \operatorname {rank} (x)<\alpha \}$

及び、

$\forall x\in {\mathit {WF}}{\bigl (}\operatorname {rank} (x)<\alpha \iff \exists \beta <\alpha ;x\in R(\beta +1)\iff x\in R(\alpha ){\bigr )}$

ランクを計算するときに次の補題を使う。

$y\in {\mathit {WF}}$のとき、

$x\in y\implies x\in {\mathit {WF}}$

かつ

$\operatorname {rank} (x)<\operatorname {rank} (y)$

$\operatorname {rank} (y)=\alpha$ とすると $y\in R(\alpha +1)={\mathcal {P}}(R(\alpha ))$

$x\in y$ ならば $x\in R(\alpha )=\{x\in {\mathit {WF}}\mid \operatorname {rank} (x)<\alpha \}$だから$\operatorname {rank} (x)<\alpha$

参考文献

• Halmos, Paul R. (2015-04-22), Naive Set Theory (paperback ed.), Benediction Classics, ISBN 978-1-78139-466-3 
• ポール・ハルモス『素朴集合論』富川滋 訳、ミネルヴァ書房、1975年。ISBN 4-623-00986-6。 
• Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 9780444868398 

関連項目

• 整礎的集合
• 公理的集合論
• 集合論

外部リンク

• 西村敏男『集合論』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. “Axiom of Foundation”. mathworld.wolfram.com (英語).