空集合の公理

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空集合の公理 (くうしゅうごうのこうり、: axiom of empty set) は、ZF集合論KP集合論公理の一つで、「いかなる集合も含まない集合が存在する」ことを主張するものである。ただし、この公理を採用しないZF公理系の定式化も存在する[1]

定義[編集]

「ある集合 x が存在して、任意の y に対し、yx の要素でない。」 すなわち、

性質[編集]

外延性の公理により、公理で主張される集合は一意に存在することがわかる。その集合を「空集合」と呼び、通常は { } の記号で表わす。空集合を表す定数記号を予め用意してZFを記述することもある。その場合、無限公理に現れる ∅ は単に何らかの集合を表す記号であり、空集合の公理によってはじめてそれが空であることが保証される。

この公理の主張自体は明白なものと考えられているが、一階述語論理置換公理から導くことが可能なため[2]、公理には加えないこともある。

脚注・出典[編集]

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参考文献[編集]