最小の非可算順序数

最小の非可算順序数（英: first uncountable ordinal）は、全ての可算順序数のみを元とする極限順序数である。多くの場合において $\omega _{1}$ と表記されるが、ときに $\Omega$ とも表記される。非可算集合であり、その濃度は最小の非可算アレフ数 $\aleph _{1}$ に等しい。$\omega _{1}$ の存在は、選択公理によらずに定まる（ハルトークス数を参照）。

位相的性質

任意の順序数は、順序位相の入った位相空間と捉えることができる。位相空間 [0,ω₁) および [0,ω₁] は、いくつかの興味深い性質を持っている。

• [0,ω₁) は点列コンパクトであるがコンパクトではない。任意の距離空間においてその二つは同値であるから、[0,ω₁) は距離化不可能である。
• 可算コンパクトではあるため、 [0,ω₁) はコンパクトでない可算コンパクト空間の例になっている。
• [0,ω₁) は第一可算公理を満たすが可分でも第二可算的でもない。
• ω₁ は[0,ω₁) の極限点であるが、 [0,ω₁) 内の可算な点列で ω₁ に収束するものは存在しない。なぜなら、可算集合の可算和はまた可算集合になるからである。よって [0, ω₁] においてω₁ は可算な基本近傍系を持てず、[0, ω₁] は第一可算公理を満たさない。
• ω₁ から実数 $\mathbb {R}$ への任意の連続関数 f は、ある順序数から先が定数関数になる。即ち、ある$\beta \in \omega _{1}$と実数$c\in \mathbb {R}$が存在して、$\beta <\alpha$ ならば $f(\alpha )=c$となる。

他にも ω₁ は、長い直線やTychonoff plankといった、位相空間論における重要な反例を作り出すために用いられている。

連続体仮説

→詳細は「連続体仮説」を参照

連続体仮説とは、「連続体濃度と $\omega _{1}$ の濃度は等しい」という命題であり、19世紀にゲオルク・カントールによって仮説として提唱された。現在では、ZFCにおいて証明も反証もできないことが分かっている。この仮説との関連で、$\omega _{1}$ のべき集合 ${\mathcal {P}}\left(\omega _{1}\right)$ の構造も研究されている。

関連項目

• 非可算集合
• 極限順序数
• 正則基数
• ボレル集合

参考文献

• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2.
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
• 志賀浩二 『無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち』1988、日本評論社 ISBN 978-4535781610