最小の非可算順序数

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最小の非可算順序数: First uncountable ordinal)ω1の存在は、選択公理によらずに示すことができる(ハルトークス数を参照)。ω1極限順序数で、すべての可算順序数を含む非可算集合である。ときに Ω とも表記される。その濃度は最小の非可算基数 ℵ1 に等しい。

位相的性質[編集]

任意の順序数は、順序位相の入った位相空間と捉えることができる。位相空間 [0,ω1) および [0,ω1] は、いくつかの興味深い性質を持っている。

  • 可算コンパクトではあるため、 [0,ω1) はコンパクトでない可算コンパクト空間の例になっている。
  • ω1 は[0,ω1) の極限点であるが、 [0,ω1) 内の可算な点列で ω1 に収束するものは存在しない。なぜなら、可算集合の可算和はまた可算集合になるからである。よって [0, ω1] においてω1 は可算な基本近傍系を持てず、[0, ω1] は第一可算公理を満たさない。
  • ω1 から実数 への任意の連続関数 f は、ある順序数から先が定数関数になる。即ち、あると実数が存在して、 ならば となる[1]

他にも ω1 は、長い直線Tychonoff plankといった、位相空間論における重要な反例を作り出すために用いられている。

連続体仮説[編集]

連続体仮説とは『連続濃度はω1の濃度と等しい』という命題で、19世紀カントルによって提唱された。現在では、ZFCにおいて証明も反証もできない命題であることが知られている。この仮説との関連で、ω1べき集合 の構造も研究されている[2]

関連項目[編集]

出典[編集]

  1. ^ Bellenot, Steven. “"The set ω1, the first uncountable ordinal"”. 2015年8月27日閲覧。
  2. ^ TODORCEVIC, STEVO. “"THE POWER-SET OF ω1 AND THE CONTINUUM PROBLEM"”. arxiv.org. 2015年8月27日閲覧。

参考文献[編集]