点付き集合

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数学における点付き集合(てんつきしゅうごう、付点集合: pointed set[1][2])あるいは基点付き集合 (based set[1]) や根付き集合 (rooted set[3]) は、集合 X とその特定の元 x0 との (X, x0) を言う。このとき、特定の元 x0 はこの点付き空間の基点 (base point,[2], base­point[4]:10–11) と呼ばれる。

「根付き集合」("rooted set") としてのこの概念は反マトロイド英語版の研究[3]輸送多面体英語版の研究[5]において自然に生じてくる。

点付き集合の間のは、基点付き写像 (based map[6]) や点付き写像 (pointed map[4]) あるいは基点を保つ写像 (point-preserving map[7]) と呼ばれ、台となる集合の間の写像であって、一方の基点を他方の基点へ写すものを言う。具体的に、点付き集合 (X, x0) から (Y, y0) の間の点付き写像

とは、写像 f: XYf(x0) = y0 を満たすものである。

点付き集合は離散位相を備えた点付き空間と見ることもできるし、一元体上のベクトル空間と見なすこともできる[8]

代数的構造[編集]

点付き集合は、きわめて単純な代数的構造と考えることができる。それは普遍代数学における意味で、基点を選び出すという一つの零項演算を持つ代数系ということである[9]

多くの代数的構造が凡そ自明な仕方で点付き集合と見なすことができる。例えば、単位元を基点に選んで点付き集合と見れば、ちょうど群準同型が点付き写像となっていることが見て取れる[10]:24。このような観察は、圏論的な言い方をすれば、群の圏から点付き集合の圏への忘却函手英語版があると言い換えられる[10]:582

点付き集合の圏[編集]

全ての点付き集合の成すは、すべての点付き写像の成す類を伴ってを成す。この圏 Set において、点付き一元集合 ({a}, a)始対象かつ終対象[1]したがって零対象[4]:226である。通常の集合の圏 Set から点付き集合の圏への忠実函手が存在するが、それは充満にならず、この二つの圏は圏同値でない[11]:44。特に、空集合は(基点を選ぼうにも、元をそもそも持たないため)点付き集合にすることができない[12]

点付き集合の圏 Set は、集合と部分写像の圏に圏同値だが圏同型英語版でない[7]。 ある教科書は「集合と部分写像に関して「仮想の」あるいは「無限遠の」元を付け加えることで得られる、この形式的完備化は、特に位相空間論一点コンパクト化として)や理論計算機科学において、何度も再発見されてきたものである。」ということを注意している[13]

点付き集合の圏 Set余スライス圏英語版 1Set(ただし 1 は任意の単元集合)に同型である[11]:46[14]

点付き集合の圏 Set余積をともに持つが、分配圏英語版ではない。また、この圏は零対象 0 に対して 0 × A0 に同型でない圏の例ともなる[12]

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ a b c Mac Lane (1998) p.26
  2. ^ a b Grégory Berhuy (2010). An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications. London Mathematical Society Lecture Note Series. 377. Cambridge University Press. p. 34. ISBN 0-521-73866-0. Zbl 1207.12003. 
  3. ^ a b Korte, Bernhard; Lovász, László; Schrader, Rainer (1991), Greedoids, Algorithms and Combinatorics, 4, New York, Berlin: Springer-Verlag, chapter 3, ISBN 3-540-18190-3, Zbl 0733.05023 
  4. ^ a b c Joseph Rotman (2008). An Introduction to Homological Algebra (2nd ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9. 
  5. ^ Klee, V.; Witzgall, C. (1970) [1968]. “Facets and vertices of transportation polytopes”. In George Bernard Dantzig. Mathematics of the Decision Sciences. Part 1. American Mathematical Soc.. ASIN B0020145L2. OCLC 859802521. 
  6. ^ Maunder, C. R. F. (1996), Algebraic Topology, Dover, p. 31, https://books.google.com/books?id=YkyizIcJdK0C&pg=PA31 .
  7. ^ a b Lutz Schröder (2001). “Categories: a free tour”. In Jürgen Koslowski and Austin Melton. Categorical Perspectives. Springer Science & Business Media. p. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3. 
  8. ^ Haran, M. J. Shai (2007), “Non-additive geometry”, Compositio Mathematica 143 (3): 618–688, MR 2330442, http://cage.ugent.be/~kthas/Fun/library/ShaiHaran2007.pdf . On p. 622, Haran writes "We consider -vector spaces as finite sets with a distinguished 'zero' element..."
  9. ^ Saunders Mac Lane; Garrett Birkhoff (1999) [1988]. Algebra (3rd ed.). American Mathematical Soc.. p. 497. ISBN 978-0-8218-1646-2. 
  10. ^ a b Paolo Aluffi (2009). Algebra: Chapter 0. American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-4781-7. 
  11. ^ a b J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18th January 2005) Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
  12. ^ a b F. W. Lawvere; Stephen Hoel Schanuel (2009). Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories (2nd ed.). Cambridge University Press. pp. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2. 
  13. ^ Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). A Course in Mathematical Logic for Mathematicians. Springer Science & Business Media. p. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1. "This formal completion of sets and partial maps by adding 'improper', 'infinite' elements was reinvented many times, in particular, in topology (one-point compactification) and in theoretical computer science." 
  14. ^ Francis Borceux; Dominique Bourn (2004). Mal'cev, Protomodular, Homological and Semi-Abelian Categories. Springer Science & Business Media. p. 131. ISBN 978-1-4020-1961-6. 

外部リンク[編集]